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距離空間上の点列

距離空間上のコーシー列と有界点列の関係

目次

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コーシー列は有界

距離空間\(\left( X,d\right) \)が与えられているものとします。つまり、\(X\)は非空集合であるとともに、距離関数\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の4つの公理\begin{eqnarray*}&&\left( M_{1}\right) \ \forall x,y\in X:d\left( x,y\right) \geq 0 \\
&&\left( M_{2}\right) \ \forall x,y\in X:\left[ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\right] \\
&&\left( M_{3}\right) \ \forall x,y\in X:d(x,y)=d\left( y,x\right) \\
&&\left( M_{4}\right) \ \forall x,y,z\in X:d\left( x,z\right) \leq d\left(
x,y\right) +d\left( y,z\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。

距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であることとは、ある項より先にある任意の2つの項の間の距離が限りなく小さくことを意味しますが、これを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}となります。コーシー列は有界であることが保証されます。

命題(コーシー列は有界)
距離空間\(X\)上の点列\(\left\{x_{n}\right\} \)がコーシー列であるならば、\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界である。
証明

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例(コーシー列は有界)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。これを示します。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して\(\left( 1\right) \)を満たす番号\(N\)の候補を見つけるために\(\left( 1\right) \)の結論の式を変形します。具体的には、ある番号\(N\)が与えられたとき、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\quad \because m,n\in \mathbb{N} \\
&\leq &\frac{1}{N}+\frac{1}{N}\quad \because m,n\geq N \\
&=&\frac{2}{N}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert \leq \frac{2}{N} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。そこで、\begin{equation}
\frac{2}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\)を適当に選べば、\(m\geq N\)かつ\(n\geq N\)を満たす任意の番号\(m,n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right\vert &\leq &\frac{2}{N}\quad
\because \left( 2\right) \\
&<&\varepsilon \quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}となるため\(\left( 1\right) \)が成り立つことが明らかになりました。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列です。すると先の命題より\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界であることが保証されます。実際、以下の点\begin{equation*}1\in \mathbb{R} \end{equation*}に注目したとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},1\right) &=&\left\vert x_{n}-1\right\vert \quad \because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert \frac{1}{n}-1\right\vert \quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義} \\
&=&\left\vert \frac{1-n}{n}\right\vert \\
&<&1
\end{eqnarray*}となります。結論を整理すると、\begin{equation*}
\exists 1\in \mathbb{R} ,\ \exists 1>0,\ \forall n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},1\right) <1
\end{equation*}となるため、\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であることが明らかになりました。
例(コーシー列は有界)
離散距離空間\(\left( X,d\right) \)は距離空間であり、離散距離\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in X\times X\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=y\right) \\
1 & \left( if\ x\not=y\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めます。何らかの要素\(x\in X\)を適当に選んだ上で、\(X\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項を、\begin{equation*}x_{n}=x
\end{equation*}と定義します。この点列がコーシー列であることを示します。コーシー列の定義より、これは、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x_{m},x_{n}\right)
<\varepsilon \right] \end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の定義よりこれは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow d\left( x,x\right) <\varepsilon \right] \end{equation*}であることを意味し、さらに離散距離\(d\)の定義よりこれは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall m\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( m\geq N\wedge n\geq N\Rightarrow 0<\varepsilon \right)
\end{equation*}であることを意味します。これは明らかに成り立つため\(\left\{x_{n}\right\} \)はコーシー列であることが明らかになりました。実際、\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x_{m}\right) &=&d\left( x,x\right) \quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}となるため、\begin{equation*}
\exists x\in X,\ \exists \varepsilon >0,\ \forall m,n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <2
\end{equation*}は明らかに成り立ちます。したがって\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界です。

 

有界な点列はコーシー列であるとは限らない

距離空間上の点列がコーシー列である場合、その点列は有界であることが明らかになりましたが、その逆は成立するとは限りません。つまり、有界な点列はコーシー列であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(有界だがコーシー列ではない点列)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は有界ですが収束しません。この点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が有界であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall n,m\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x_{m}\right) <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことを示します。\(n,m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}d\left( x_{n},x_{m}\right) &=&\left\vert x_{n}-x_{m}\right\vert \quad
\because d\text{の定義} \\
&=&\left\vert \left( -1\right) ^{n}-\left( -1\right) ^{m}\right\vert \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&<&3
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。その一方で、この点列\(\left\{x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。つまり、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\wedge d\left( x_{m},x_{n}\right) \geq
\varepsilon \right] \end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists m\in \mathbb{N} ,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left[ m\geq N\wedge n\geq N\wedge \left\vert \left( -1\right) ^{m}-\left(
-1\right) ^{n}\right\vert \geq \varepsilon \right] \end{equation*}が成り立ちます。実際、\(\varepsilon =1\)を選んだとき、番号\(N\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、\(m\geq N\)を満たす偶数\(m\)と\(n\geq N\)を満たす奇数\(n\)をとると、\begin{eqnarray*}\left\vert \left( -1\right) ^{m}-\left( -1\right) ^{n}\right\vert
&=&\left\vert 1-\left( -1\right) \right\vert \quad \because m\text{は偶数かつ}n\text{は奇数} \\
&=&2 \\
&\geq &\varepsilon \quad \because \varepsilon =1
\end{eqnarray*}となります。したがって\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。

 

点列がコーシー列ではないことの判定

コーシー列は有界であることが明らかになりました。対偶より、有界ではない点列はコーシー列ではありません。したがって、点列が有界ではないことを証明できれば、その点列がコーシー列ではないことを示したことになります。

例(点列がコーシー列ではないことの判定)
\(1\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} \)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}d\left( x,y\right) &=&\sqrt{\left( x-y\right) ^{2}} \\
&=&\left\vert x-y\right\vert \quad \because \text{絶対値の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(\mathbb{R} \)における点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列は有界ではありません。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} :d\left( x_{n},x\right) \geq \varepsilon
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left\vert n-x\right\vert \geq \varepsilon
\end{equation*}が成り立ちます。実際、\(x\in \mathbb{R} \)と\(\varepsilon >0\)を任意に選んだとき、それに対して、\begin{equation*}n\geq x+\varepsilon
\end{equation*}を満たす\(n\in \mathbb{N} \)が存在し、この\(n\)のもとで条件が満たされます。したがって\(\left\{x_{n}\right\} \)は有界ではありません。有界ではない点列はコーシー列ではないため\(\left\{ x_{n}\right\} \)はコーシー列ではありません。

 

演習問題

問題(有界なコーシー列)
\(2\)次元ユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{2}\)は距離空間であり、ユークリッド距離関数\(d:\mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\times \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\sqrt{\left( x_{1}-y_{1}\right) ^{2}+\left(
x_{2}-y_{2}\right) ^{2}}
\end{equation*}を定めます。\(\mathbb{R} ^{2}\)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( x_{n}^{\left( 1\right) },x_{n}^{\left( 2\right) }\right)
=\left( 1+\frac{1}{2n},2-\frac{1}{2n}\right)
\end{equation*}で与えられているものとします。この点列が有界なコーシー列であることを示してください。

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問題(有界なコーシー列)
有界閉区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義された連続関数をすべて集めてできる集合を\(C\left[ 0,1\right] \)で表記します。その上で、それぞれの\(\left( f,g\right) \in C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}d\left( f,g\right) =\int_{0}^{1}\left\vert f\left( t\right) -g\left(
t\right) \right\vert dt
\end{equation*}を定める関数\(d:C\left[ 0,1\right] \times C\left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、\(\left( C\left[ 0,1\right] ,d\right) \)は距離空間となります。\(C\left[ 0,1\right] \)上の点列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、それぞれの\(t\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}x_{n}\left( t\right) =\frac{t}{n}
\end{equation*}を定める関数\(x_{n}:\left[ 0,1\right]\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この点列が有界なコーシー列であることを示してください。
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