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PROBABILITY DISTRIBUTION

確率分布

OVERVIEW

確率分布

試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うために確率変数と呼ばれる概念を用いて標本点を数値化します。確率分布とは、様々な事象の起こりやすさを確率変数を用いて表現したものに相当します。

TABLE OF CONTENTS

目次

SECTION 1

離散型の確率分布

取り得る値からなる集合が有限集合もしくは可算集合であるような確率変数を離散型の確率変数と呼びます。

離散型の確率変数

それぞれの標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。値域が有限集合または可算集合であるような確率変数を離散型の確率変数と呼びます。

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離散型確率変数の期待値

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して、その値が実現する確率との積をとった上で、得られた積の総和をとると期待値と呼ばれる指標が得られます。

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離散型確率変数の期待値の性質

確率変数の定数倍として定義される確率変数の期待値はもとの確率変数の期待値の定数倍と一致し、確率変数の和として定義される確率変数の期待値はもとの確率変数の期待値の和と一致します。

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離散型確率変数の分散と標準偏差

離散型の確率変数がとり得るそれぞれの値に対して、その値と期待値の差の平方をとった上で、得られた平方の総和をとると分散と呼ばれる指標が得られます。分散の正の平方根を標準偏差と呼びます。

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SECTION 2

離散型の同時確率分布

問題としている試行において複数の確率変数を同時に扱う必要がある場合、それを同時確率変数として表現します。

SECTION 3

連続型の確率分布

取り得る値からなる集合が非可算であるような確率変数を連続型の確率変数と呼びます。

連続型の確率変数

それぞれの標本点に対して実数を1つずつ割り当てる写像を確率変数と呼びます。値域が区間もしくは互いに素な区間の和集合であるような確率変数を連続型の確率変数と呼びます。

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連続型確率変数の確率密度関数

連続型の確率変数の確率分布を確率(質量)関数を通じて表現することはできません。連続型の確率関数の確率分布を描写する際には確率密度関数と呼ばれる概念を利用します。

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連続型確率変数の分散と標準偏差

連続型の確率変数がとり得るそれぞれの値と期待値の差の平方をとった上で、得られた平方を積分すると分散と呼ばれる指標が得られます。分散の正の平方根を標準偏差と呼びます。

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SECTION 4

代表的な確率分布

代表的な確率分布とその性質について解説します。

ベルヌーイ分布

ある確率変数が1と0の二つの値のみをとり得るとともに、1を値としてとる確率がpで、0を値としてとる確率が1-pである場合には、その確率変数はパラメーターpのベルヌーイ分布にしたがうと言います。

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発展知識

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