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離散型の確率分布

2つの離散型確率変数の独立性

目次

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2つの確率変数の独立性

問題としている試行に関する確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられたとき、2つの事象\(A,B\in \mathcal{F}\)が独立であることを、\begin{equation*}P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義しました。これは、2つの事象\(A,B\)の一方が起きているかどうかが他方の事象が起こる確率に影響を与えないことを意味します。以上を踏まえた上で、2つの確率変数が独立であることの意味を定義します。

問題としている試行に関する同時確率変数\begin{equation*}
\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が与えられている状況を想定します。集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を選んだとき、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\} \quad \cdots (1)
\end{equation}であり、「確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象は、\begin{equation}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\} \quad \cdots (2)
\end{equation}です。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)の積事象は「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属するとともに確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象ですが、これは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in B\right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \in A\times B\right\}
\end{equation*}です。したがって、事象の独立性の定義より、\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)が独立であることとは、\begin{equation*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \in A\times B\right\}
=P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
\right) \cdot P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right)
\in B\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right) \cdot
P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

以上を踏まえた上で、任意の集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)に対して「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象と「確率変数\(Y\)の値が集合\(B\)に属する」という事象が独立である場合(もしくは独立であることを仮定する場合)には、すなわち、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、確率変数である\(X\)と\(Y\)は独立である(independent)と言います。一方、確率変数\(X,Y\)が独立でない場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists A,B\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) \not=P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(X\)と\(Y\)は従属である(dependent)と言います。

 

2つの離散型確率変数の独立性

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率分布が同時確率質量関数\begin{equation*}f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) =\left( x,y\right) \right) =f_{XY}\left(
x,y\right)
\end{equation*}であり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率は、\begin{equation}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in
A\times B}f_{XY}\left( x,y\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}であるということです。同時確率質量関数\(f_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布を描写する周辺確率質量関数\begin{eqnarray*}f_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
f_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。周辺確率質量関数の定義より、集合\(A,B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray}P\left( X\in A\right) &=&\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right) \quad \cdots (2) \\
P\left( Y\in B\right) &=&\sum_{y\in B}f_{Y}\left( y\right) \quad \cdots (3)
\end{eqnarray}という関係が成り立つことに注意してください。

先に定義したように、確率関数\(X,Y\)が独立であることは、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =P\left( X\in A\right)
\cdot P\left( X\in B\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、\(\left( 1\right) ,\left(2\right) ,\left( 3\right) \)を用いると、これを、\begin{equation*}\forall A,B\in 2^{\mathbb{R} }:\sum_{\left( x,y\right) \in A\times B}f_{XY}\left( x,y\right) =\sum_{x\in
A}f_{X}\left( x\right) \cdot \sum_{y\in B}f_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}と表現できます。そこで、以上の条件によって離散型の確率変数\(X,Y\)の独立性の定義とします。

離散型確率変数の独立性を以下のように表現することもできます。

命題(離散型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されているものとする。個々の確率変数\(X,Y\)の周辺確率質量関数が\(f_{X},f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f_{XY}\left( x,y\right) =f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
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例(離散型確率変数の独立性)
「コインを2回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。各回において表が出た場合にはポイント\(1\)を得て、裏が出た場合にはポイント\(1\)を失うものとします。すべての標本点は同じ確率で起こり得るものとします。「1回目に得るポイント」と「2回目に得るポイント」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。具体的には、「1回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)と「2回目に出るポイント」を特定する確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{表}\right) \right) \\
\left( 1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{裏}\right) \right) \\
\left( -1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{表}\right) \right) \\
\left( -1,-1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{裏}\right) \right)
\end{array}\right. \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,-1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,-1\right) \right\}
\end{equation*}です。標本空間\(\Omega \)には\(2^{2}=4\)個の標本点が属しますが、仮定よりこれらはいずれも同じ程度の確かさで起こるため、同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量変数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 1,-1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量変数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ y\in Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)を任意に選んだとき、\(\left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&\frac{1}{4}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \quad \because \left(
2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(\left( x,y\right) \not\in\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)の場合には、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( x,y\right) &=&0\quad \because \left( 1\right) \\
&=&0\cdot 0 \\
&=&f_{X}\left( x\right) \cdot f_{Y}\left( y\right) \quad \because \left(
2\right) ,\left( 3\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(X\)と\(Y\)は独立です。

確率変数どうしは独立であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(離散型確率変数の独立性)
「コインを2回投げる」という試行を行います。\(i\ \left( =1,2\right) \)回目に出た面を\(\omega _{i}\)で表記するのであれば、問題としている試行の標本空間は、\begin{equation*}\Omega =\left\{ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) \ |\ \forall i\in
\left\{ 1,2\right\} :\omega _{i}\in \left\{ \text{表},\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}です。すべての標本点は同じ確率で起こり得るものとします。「1投目に表が出る回数」と「2投において表が出る合計回数」の関係性を分析したい場合には、それらを特定する2つの確率変数の同時確率変数を利用することになります。具体的には、「1回目に得るポイント」を特定する確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と「2投において表が出る合計回数」を特定する確率変数\(Y:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)がそれぞれの\(\left( \omega_{1},\omega _{2}\right) \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) \left( \omega _{1},\omega _{2}\right) &=&\left( X\left(
\omega _{1},\omega _{2}\right) ,Y\left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
\right) \quad \because \left( X,Y\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}
\left( 1,2\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{表}\right) \right) \\
\left( 1,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{表},\text{裏}\right) \right) \\
\left( 0,1\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{表}\right) \right) \\
\left( 0,0\right) & \left( if\ \left( \omega _{1},\omega _{2}\right)
=\left( \text{裏},\text{裏}\right) \right)
\end{array}\right. \quad \because X,Y\text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。\(\left( X,Y\right) \)の値域は、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,2\right) ,\left(
1,1\right) ,\left( -1,1\right) ,\left( -1,0\right) \right\}
\end{equation*}です。標本空間\(\Omega \)には\(2^{2}=4\)個の標本点が属しますが、仮定よりこれらはいずれも同じ程度の確かさで起こるため、同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であり、確率質量変数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (2)
\end{equation}を定めます。確率変数\(Y\)の値域は、\begin{equation*}Y\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2\right\}
\end{equation*}であり、確率質量変数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation}f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{4} & \left( if\ y=0,2\right) \\
\frac{1}{2} & \left( if\ y=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \quad \cdots (3)
\end{equation}を定めます。点\(\left( 0,0\right)\in \mathbb{R} ^{2}\)に注目したとき、\(\left(1\right) ,\left( 2\right) ,\left( 3\right) \)より、\begin{eqnarray*}f_{XY}\left( 0,0\right) &=&\frac{1}{4} \\
f_{X}\left( 0\right) \cdot f_{Y}\left( 0\right) &=&\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}
\end{eqnarray*}であり、したがって、\begin{equation*}
f_{XY}\left( 0,0\right) \not=f_{X}\left( 0\right) \cdot f_{Y}\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(X\)と\(Y\)は独立ではないこと、すなわち従属であることが明らかになりました。

 

分布関数を用いた離散型確率変数の独立性の表現

確率変数の独立性は分布関数を用いて表現することもできます。具体的には以下の通りです。

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられている状況において、離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率分布が同時分布関数\begin{equation*}F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)以下である確率は、\begin{equation*}P\left( X\leq x\wedge Y\leq y\right) =F_{XY}\left( x,y\right)
=\sum_{x_{i}\leq x}\sum_{y_{i}\leq y}f_{XY}\left( x_{i},y_{i}\right)
\end{equation*}です。同時分布関数\(F_{XY}\)を周辺化することにより個々の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布を描写する分布関数\begin{eqnarray*}F_{X} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
F_{Y} &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が得られます。分布関数の定義より、点\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( X\leq x\right) =\sum_{x_{i}\leq
x}f_{X}\left( x_{i}\right) \\
F_{Y}\left( x\right) &=&P\left( Y\leq y\right) =\sum_{y_{i}\leq
y}f_{Y}\left( y_{i}\right)
\end{eqnarray*}という関係が成り立つことに注意してください。以上を踏まえたとき、\begin{equation*}
\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件になります。

命題(離散型確率変数の独立性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)と同時確率変数\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、さらに\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布が同時分布関数\(F_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)として表現されているものとする。個々の確率変数\(X,Y\)の周辺分布関数が\(F_{X},F_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとする。このとき、以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :F_{XY}\left( x,y\right) =F_{X}\left( x\right) \cdot F_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(X\)と\(Y\)が独立であるための必要十分条件である。
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演習問題

問題(離散型確率変数の独立性)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 0,0\right) ,\left(
0,1\right) ,\left( 1,0\right) ,\left( 1,1\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,0\right) \right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 0,1\right) \right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
\frac{1}{4} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。
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問題(離散型確率変数の独立性)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left\{ 0,1\right\} \wedge y\in \left\{ 0,1,2,3\right\}
\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)に対して定める値が以下の表で与えられているものとします。

$$\begin{array}{ccccc}\hline
x\backslash y & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
0 & \frac{1}{8} & \frac{2}{8} & \frac{1}{8} & 0 \\ \hline
1 & 0 & \frac{1}{8} & \frac{2}{8} & \frac{1}{8} \\ \hline
\end{array}$$
\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。

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問題(離散型確率変数の独立性)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left\{ 0,1,2\right\} \wedge y\in \left\{ 0,1,2,3\right\}
\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x+y}{30} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。
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問題(離散型確率変数の独立性)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left\{ 1,2,3\right\} \wedge y\in \left\{ 1,2,3\right\}
\right\}
\end{equation*}であるとともに、その同時確率関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{x+y}{36} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)と\(Y\)は独立でしょうか。議論してください。
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