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離散型の確率分布

離散型確率変数のモーメント(積率)

目次

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離散型確率変数のモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。つまり、確率変数\(X\)が値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であり、確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}であるということです。

自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(X^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(X^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( X^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{m}f_{X}\left(
x\right) \quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメント(\(m\) th moment)や原点まわりの\(m\)次のモーメント(\(m\)th moment about the origin)などと呼びます。モーメントを積率(moment)と呼ぶ場合もあります。

例(確率変数の積率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}E\left( X^{1}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{1}f_{X}\left(
x\right) \\
E\left( X^{2}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{2}f_{X}\left(
x\right) \\
E\left( X^{3}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }x^{3}f_{X}\left(
x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

例(確率変数の積率)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率質量関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2\right) \\
\frac{1}{6} & \left( if\ x=3\right) \\
0 & \left( others\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の\(3\)次のモーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( X^{3}\right) &=&\sum_{i=1}^{3}x^{3}f_{X}\left( x\right) \quad
\because \text{LOTUS} \\
&=&1^{3}\cdot \frac{1}{2}+2^{3}\cdot \frac{1}{3}+3^{3}\cdot \frac{1}{6} \\
&=&\frac{23}{3}
\end{eqnarray*}です。

確率変数の\(1\)次のモーメントは期待値と一致します。

命題(モーメントと期待値の関係)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。この場合、\begin{equation*}E\left( X\right) =E\left( X^{1}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。つまり、\(X\)の原点まわりの\(1\)次のモーメントは\(X\)の期待値と一致する。
証明

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特定の値のまわりのモーメント

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。加えて、\(X\)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。自然数\(m\in \mathbb{N} \)と実数\(a\in \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\left( X-a\right) ^{m}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) -a\right] ^{m}
\end{equation*}を定める新たな確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この確率変数\(\left( X-a\right) ^{m}\)の期待値は、\begin{equation*}E\left( \left( X-a\right) ^{m}\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right)
}\left( x-a\right) ^{m}f_{X}\left( x\right) \quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}となりますが、これを確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(m\)次のモーメント(\(m\) th moment about the point \(a\))と呼びます。

例(確率変数の特定の点のまわりの積率)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。このとき、\begin{eqnarray*}E\left( \left( X-a\right) ^{1}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right)
}\left( x-a\right) ^{1}f_{X}\left( x\right) \\
E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right)
}\left( x-a\right) ^{2}f_{X}\left( x\right) \\
E\left( \left( X-a\right) ^{3}\right) &=&\sum_{x\in X\left( \Omega \right)
}\left( x-a\right) ^{3}f_{X}\left( x\right) \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}などとなります。

離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとします。\(X\)の期待値\begin{equation*}E\left( X\right) =\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }xf_{X}\left( x\right)
\end{equation*}が存在する場合、これは有限な実数であるため、\(X\)の期待値\(E\left(X\right) \)周りの\(m\)次のモーメント\begin{equation*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{m}\right) =\sum_{x\in X\left(
\Omega \right) }\left[ x-E\left( X\right) \right] ^{m}f_{X}\left( x\right)
\quad \because \text{LOTUS}
\end{equation*}をとることができます。これを確率変数\(X\)の\(m\)次の中心モーメント(\(m\) the central moment)と呼びます。

例(確率変数の中心モーメント)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2,3\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2\right) \\
\frac{1}{6} & \left( if\ x=3\right) \\
0 & \left( others\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)の期待値は、\begin{eqnarray*}E\left( X\right) &=&\sum_{x=1}^{3}xf_{X}\left( x\right) \\
&=&1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{1}{6} \\
&=&\frac{5}{3}
\end{eqnarray*}であるため、\(X\)の\(3\)次の中心モーメントは、\begin{eqnarray*}E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{3}\right)
&=&\sum_{i=1}^{3}\left( x-E\left( X\right) \right) ^{3}f_{X}\left( x\right)
\quad \because \text{LOTUS} \\
&=&\left( 1-\frac{5}{3}\right) ^{3}\cdot \frac{1}{2}+\left( 2-\frac{5}{3}\right) ^{3}\cdot \frac{1}{3}+\left( 3-\frac{5}{3}\right) ^{3}\cdot \frac{1}{6} \\
&=&\frac{7}{27}
\end{eqnarray*}です。

確率変数の\(2\)次の中心モーメントは分散と一致します。

命題(モーメントと分散の関係)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。期待値\(E\left( X\right) \)が存在する場合、\begin{equation*}\mathrm{Var}\left( X\right) =E\left( \left[ X-E\left( X\right) \right] ^{2}\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。つまり、\(X\)の\(2\)次の中心モーメントは\(X\)の分散と一致する。
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確率変数\(X\)の\(a\)まわりの\(2\)次のモーメント\(E\left(\left( X-a\right) ^{2}\right) \)をとります。\(a\in \mathbb{R} \)を変化させると先の\(2\)次のモーメントの値も変化しますが、その値は\(a=E\left( X\right) \)のもとで最小化されるとともに、最小化された\(2\)次の中心モーメントの値は\(\mathrm{Var}\left( X\right) \)と一致します。

命題(モーメントと分散の関係)
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の確率分布が確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として記述されているものとする。期待値\(E\left( X\right) \)と分散\(\mathrm{Var}\left(X\right) \)が存在する場合、\begin{eqnarray*}\mathrm{Var}\left( X\right) &=&\min_{a\in \mathbb{R} }E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right) \\
E\left( X\right) &=&\mathrm{argmin}_{a\in \mathbb{R} }E\left( \left( X-a\right) ^{2}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。

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演習問題

問題(モーメント)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}0\leq p\leq 1
\end{equation*}を満たす定数\(p\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
p & \left( if\ x=1\right) \\
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。この確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメントと、\(m\)次の中心モーメントをそれぞれ求めてください。
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問題(モーメント)
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値域が、\begin{equation*}x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}
\end{equation*}を満たす有限\(n\)個の実数\(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\right\}
\end{equation*}と表されるとともに、\(X\)の確率分布を描写する確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。この確率変数\(X\)の\(m\)次のモーメントと、\(m\)次の中心モーメントをそれぞれ求めてください。
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