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離散型の確率分布

離散型確率変数の周辺確率質量関数

目次

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同時確率分布から導かれる周辺確率分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられている場合、一方の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の値がある集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率\begin{equation*}P\left( X\in A\right)
\end{equation*}をどのように評価すればよいでしょうか。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)はそれぞれの標本点\(\omega \in\Omega \)に対してベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,Y\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}を1つずつ定めるため、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象は、\(X\left( \omega \right) \in A\)を満たす標本点\(\omega \)からなる集合\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\}
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in Y\left( \Omega \right) \right\} \quad \because Y\left(
\omega \right) \in Y\left( \Omega \right) \text{は恒真式} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( X,Y\right) \in A\times X\left(
\Omega \right) \right\}
\end{eqnarray*}として表現されます。したがって、「確率変数\(X\)の値が集合\(A\)に属する」という事象が起こる確率は、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left(
X,Y\right) \in A\times X\left( \Omega \right) \right\} \right)
\end{equation*}となります。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)が与えられている状況において、確率変数\(X\)の値がそれぞれの集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率\(P\left( X\in A\right) \)が明らかになっている場合、そのような情報の集まりを確率変数\(X\)の周辺確率分布(marginal probability distribution)と呼びます。もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。同時確率変数の同時確率分布が分かっている場合には、個々の変数の周辺確率分布を特定できるということです。

 

離散型確率変数の周辺確率質量関数

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられており、その同時確率分布が同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)によって記述されているものとします。つまり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値がベクトル\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)と一致する確率は、\begin{equation*}P\left( X=x\wedge Y=y\right) =f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}であり、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が集合\(A\times B\subset \mathbb{R} ^{2}\)に属する確率は、\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) =\sum_{\left( x,y\right) \in
A\times B}f_{XY}\left( x,y\right)
\end{equation*}であるということです。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率分布に関する以上の情報から、確率変数\(X\)の周辺確率分布を特定するためにはどうすればよいでしょうか。\(X\)は離散型の確率変数であるため、その確率分布を描写するためには確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を特定すれば十分です。確率質量関数の定義より、\(f_{X}\)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、確率変数\(X\)の値が\(x\)と一致する確率\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =P\left( X=x\right)
\end{equation*}ですが、この値は同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}\)から以下のようにして導くことができます。

命題(周辺確率質量関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sum\limits_{\left( x_{i},y_{i}\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \ s.t.\ x_{i}=x}f_{XY}\left( x_{i},y_{i}\right) & \left( if\ x\in
X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。

証明

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つまり、確率変数\(X\)の値が\(x\)と一致する確率\(f_{X}\left( x\right) \)を求めるためには、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)がとり得る値の組\(\left( x_{i},y_{i}\right) \)の中でも\(x_{i}\)が\(x\)と一致するものに対して確率\(f_{XY}\left( x_{i},y_{i}\right) \)をそれぞれ特定し、得られた確率の総和をとればよいということです。

例(周辺確率質量関数)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,0\right) ,\left( 2,0\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 2,0\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( 1\right) &=&f_{XY}\left( 1,1\right) +f_{XY}\left( 1,0\right) =\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \\
f_{X}\left( 2\right) &=&f_{XY}\left( 2,0\right) =\frac{1}{3}
\end{eqnarray*}である一方、\(x\not\in X\left( \Omega\right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}となります。結果をまとめると、\begin{equation*}
f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となります。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

命題(周辺確率質量関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、これはそれぞれの\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\sum\limits_{\left( x_{i},y_{i}\right) \in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \ s.t.\ y_{i}=y}f_{XY}\left( x_{i},y_{i}\right) & \left( if\ y\in
Y\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ y\not\in Y\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める。

つまり、確率変数\(Y\)の値が\(y\)と一致する確率\(f_{Y}\left( y\right) \)を求めるためには、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)がとり得る値の組\(\left( x_{i},y_{i}\right) \)の中でも\(y_{i}\)が\(y\)と一致するものに対して確率\(f_{XY}\left( x_{i},y_{i}\right) \)をそれぞれ特定し、得られた確率の総和をとればよいということです。

以上の諸命題より、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}\)が与えられれば、そこから個々の確率変数\(X,Y\)の確率質量関数\(f_{X},f_{Y}\)をそれぞれ導けることが明らかになりました。確率質量関数\(f_{X},f_{Y}\)が同時確率質量関数\(f_{XY}\)から導かれたものである場合には、\(f_{X},f_{Y}\)のことを確率変数\(X,Y\)に関する周辺確率質量関数(marginal probability mass function)と呼びます。また、同時確率質量関数\(f_{XY}\)から周辺確率質量関数\(f_{X},f_{Y}\)を導くプロセスを周辺化(marginalizing)と呼びます。

 

周辺確率分布としての周辺確率質量関数

繰り返しになりますが、離散型同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}\)が与えられてる場合、そこから確率変数\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}\)を導くことができるとともに、確率変数\(X\)が値\(x\in \mathbb{R} \)をとる確率に関して、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上を踏まえると、確率変数\(X\)の値が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に属する確率を、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という形で表すことができます。つまり、集合\(A\)に属するそれぞれの点\(x\)に対する確率\(f_{X}\left( x\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(P\left( X\in A\right) \)が得られるということです。ただし、\(A\)が無限可算集合である場合、右辺は無限級数の和です。

命題(周辺確率分布としての周辺確率質量関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

証明

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確率変数\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}\)が与えられれば任意の集合\(A\subset \mathbb{R} \)に関する確率\(P\left( X\in A\right) \)を以上の要領で特定できるため、周辺確率質量関数\(f_{X}\)は確率変数\(X\)の周辺確率分布を表現する手段であることが明らかになりました。

例(周辺確率分布としての周辺確率質量関数)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,0\right) ,\left( 2,0\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 2,0\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。「\(X\)の値が偶数である」という事象の確率は、\begin{equation*}f_{X}\left( 2\right) =\frac{1}{3}
\end{equation*}となります。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

命題(周辺確率分布としての周辺確率質量関数)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}P\left( Y\in B\right) =\sum_{y\in B}f_{Y}\left( y\right)
\end{equation*}という関係が成り立つ。

確率変数\(Y\)の周辺確率質量関数\(f_{Y}\)が与えられれば任意の集合\(B\subset \mathbb{R} \)に関する確率\(P\left( Y\in B\right) \)を以上の要領で特定できるため、周辺確率質量関数\(f_{Y}\)は確率変数\(Y\)の周辺確率分布を表現する手段であることが明らかになりました。

 

周辺確率質量関数の非負性

周辺確率変数は非負の実数を値としてとります。特に、確率変数の値域に属さない値に対して、周辺確率質量関数はゼロを値として定めます。

命題(周辺確率質量関数の非負性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(x\not\in X\left( \Omega \right) \)である場合には、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(周辺確率質量関数の非負性)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,0\right) ,\left( 2,0\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 2,0\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成立しています。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

命題(周辺確率質量関数の非負性)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、任意の\(y\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) \geq 0
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(y\not\in Y\left( \Omega \right) \)である場合には、\begin{equation*}f_{Y}\left( y\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。

 

周辺確率質量関数の値の総和

確率変数がとり得るそれぞれの値に対して周辺確率質量関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。

命題(周辺確率質量関数の総和)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、\begin{equation*}\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(周辺確率質量関数の総和)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,0\right) ,\left( 2,0\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 2,0\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X\)の値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ 1,2\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in X\left( \Omega\right) \)に対して定める値は、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{2}{3} & \left( if\ x=1\right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ x=2\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。このとき、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right) &=&f_{X}\left(
1\right) +f_{X}\left( 2\right) \\
&=&\frac{2}{3}+\frac{1}{3} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。

もう一方の確率変数\(Y\)についても同様の議論が成立します。証明は先の命題と同様です。

命題(周辺確率質量関数の総和)
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。このとき、確率変数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在するとともに、\begin{equation*}\sum_{y\in Y\left( \Omega \right) }f_{Y}\left( y\right) =1
\end{equation*}が成り立つ。

 

確率質量関数として周辺確率質量関数

非負性を満たすとともに、値の総和が\(1\)であるような確率を確率質量関数と定義しました。先に示した諸命題より、周辺確率質量関数もまた非負性を満たすとともに、値の総和が\(1\)になります。つまり、確率変数\(X\)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f_{X}\left( x\right) =0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right)
=1
\end{eqnarray*}を満たすということです。したがって、周辺確率関数もまた個々の確率変数に関する確率質量関数であることが明らかになりました。

 

演習問題

問題(周辺確率質量関数)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( 1,1\right) ,\left(
1,0\right) ,\left( 2,0\right) \right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,1\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 1,0\right) \right) \\
\frac{1}{3} & \left( if\ \left( x,y\right) =\left( 2,0\right) \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(Y\)の周辺確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、\(Y\)の値が奇数である確率を求めてください。
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問題(周辺確率質量関数)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left\{ 1,2,3\right\} \wedge y\in \left\{ 1,2,3\right\}
\right\}
\end{equation*}であるとともに、その同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\)に対して、\begin{equation*}f_{XY}\left( x,y\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{xy}{36} & \left( if\ \left( x,y\right) \in \left( X,Y\right) \left(
\Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ \left( x,y\right) \not\in \left( X,Y\right) \left( \Omega
\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の周辺確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、\(X\)の値が奇数である確率を求めてください。
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問題(周辺確率質量関数)
離散型の同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)の値域が、\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) =\left\{ \left( x,y\right) \in \mathbb{R} ^{2}\ |\ x\in \left\{ 0,1,2\right\} \wedge y\in \left\{ 0,1,2\right\}
\right\}
\end{equation*}であるとともに、\(\left(X,Y\right) \)の同時確率質量関数\(f_{XY}:\mathbb{R} ^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in\left( X,Y\right) \left( \Omega \right) \)に対して定める値が以下の表で与えられているものとします。

$$\begin{array}{cccc}
\hline
x\backslash y & 0 & 1 & 2 \\ \hline
0 & \frac{3}{28} & \frac{3}{14} & \frac{1}{28} \\ \hline
1 & \frac{9}{28} & \frac{3}{14} & 0 \\ \hline
2 & \frac{3}{28} & 0 & 0 \\ \hline
\end{array}$$

表:同時確率関数

以上を踏まえた上で、確率変数\(X,Y\)の周辺確率質量関数\(f_{X},f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ求めてください。

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