離散型確率変数の分布関数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、もとの可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をもう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定するということです。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。加えて、\(X\)は離散型の確率変数であるものとします。つまり、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合であるということです。
写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たすこととして定義されます。つまり、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。
写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であるために満たすべき先の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布関数（distribution function）や累積分布関数（cumulative distribution function）などと呼びます。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「コインの表が出る回数」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。加えて、\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) & \left( if\ 0\leq
x<1\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「表が出れば1万円をもらえる一方で裏が出れば1万円を支払う」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10000 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
-10000 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<-10000\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ -10000\leq x<10000\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 10000\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(Y\)は確率変数です。加えて、\(Y\)の値域は、\begin{eqnarray*}Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ Y\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 10000,-10000\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(Y\)は離散型の確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<-10000\right) \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) & \left( if\ -10000\leq
x<10000\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq 10000\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<-10000\right) \\
p & \left( if\ -10000\leq x<10000\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 10000\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}と表されるということです。定値写像\(X\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ c\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<c\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq c\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<c\right) \\
1 & \left( if\ x\geq c\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
離散型確率変数の分布関数の導出
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、1点集合\(\left\{ x\right\} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\left\{ x\right\} \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)が成り立つため、確率変数の定義より、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in \left\{ x\right\}
\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、確率変数\(X\)の実現値が\(x\)と一致する確率\begin{equation*}P\left( X=x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) =x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定します。
離散型の確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)の分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\sum_{x_{i}\leq x}P\left( X=x_{i}\right)
\end{equation*}と一致することが保証されます。つまり、\(x\)以下のそれぞれの値\(x_{i}\)に対して、\(X\)の実現値が\(x_{i}\)と一致する確率\(P\left( X=x_{i}\right) \)を特定し、それらの総和をとれば、\(X\)の実現値が\(x\)以下になる確率\(F_{X}\left(x\right) \)が得られるということです。
\end{equation*}を定める。
\end{equation*}であるものとします。加えて、\begin{eqnarray*}
P\left( X=0\right) &=&0.550 \\
P\left( X=1\right) &=&0.250 \\
P\left( X=2\right) &=&0.175 \\
P\left( X=3\right) &=&0.025
\end{eqnarray*}であるとともに、\(x\not\in X\left( \Omega \right) \)を満たす任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =0
\end{equation*}であるものとします。先の命題より、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( X=0\right) & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
P\left( X=0\right) +P\left( X=1\right) & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
P\left( X=0\right) +P\left( X=1\right) +P\left( X=2\right) & \left( if\
2\leq x<3\right) \\
P\left( X=0\right) +P\left( X=1\right) +P\left( X=2\right) +P\left(
X=3\right) & \left( if\ x\geq 3\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
0.550 & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
0.800 & \left( if\ 1\leq x<2\right) \\
0.975 & \left( if\ 2\leq x<3\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 3\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
分布関数がとり得る値の範囲
離散型確率変数の分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。任意\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{X}\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は単調増加
離散型の確率変数の分布関数は単調増加（単調非減少）関数です。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\begin{equation*}
0\leq 1-p\leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\(x\leq y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) \leq F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で単調増加です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は右側連続
離散型の確率変数の分布関数は定義域上の任意の点において右側連続です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(x<0\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{X}\)は\(x<0\)を満たす\(x\)上で右側連続です。点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
1-p\right) \quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1-p \\
&=&F_{X}\left( 0\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(F_{X}\)は点\(0\)において右側連続です。\(0<x<1\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(1-p\)であるため、\(F_{X}\)は\(0<x<1\)を満たす\(x\)上で右側連続です。点\(1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(F_{X}\)は点\(1\)において右側連続です。\(x>1\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(1\)であるため、\(F_{X}\)は\(x>1\)を満たす\(x\)上で右側連続です。以上より、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は定義域上のそれぞれの点において左側連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となることを先に確認しました。この分布関数は点\(0\)において左側連続ではありません。\(F_{X}\)の点\(0\)における左側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\(F_{X}\)の点\(0\)における値は、\begin{equation*}F_{X}\left( 0\right) =1-p
\end{equation*}であるため、これと\(p\in \left( 0,1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) \not=F_{X}\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
離散型の確率変数の分布関数は右側連続である一方で左側連続であるとは限らないこと、すなわち連続であるとは限らないことが明らかになりました。ただし、分布関数が左側連続ではない点からなる集合、すなわち分布関数が連続ではない点からなる集合は高々可算集合です。つまり、分布関数が連続ではない点の個数は有限個であるか、もしくは可算個であるということです。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(F_{X}\)は点\(0\)においてのみ不連続であるため、\(F_{X}\)が不連続な点の個数は有限です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数の無限大における極限
離散型の確率変数の分布関数は正の無限大において\(1\)へ収束し、負の無限大において\(0\)へ収束します。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、正の無限大における\(F_{X}\)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }1\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の正の無限大における極限}
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における\(F_{X}\)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の負の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
確率変数がある値より大きい値をとる確率
離散型の確率変数がある値よりも大きい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>\frac{1}{2}\right) &=&1-F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>1\right) &=&1-F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
確率変数の値が区間におさまる確率
離散型の確率変数の値が区間におさまる確率は以下のようにして導出できます。
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( 0<X\leq \frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -0 \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( \frac{1}{2}<X\leq 1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -F_{X}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。
確率変数がある値より小さい値をとる確率
離散型の確率変数がある値より小さい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{1}{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}F_{X}\left(
x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<1\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。
確率変数が特定の値をとる確率
離散型の確率変数が特定の値をとる確率は以下のようにして導出できます。
x-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow x+}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X=0\right) &=&F_{X}\left( 0\right) -\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\lim_{x\rightarrow 0-}0 \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=\frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}\left( 1-p\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\left( 1-p\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&1-\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。
分布関数の特徴づけ
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた場合、その分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)であることを示しました。逆に、関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が以上の3つの性質を満たす場合、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合、この関数は何らかの確率変数の分布関数になることが保証されます。つまり、以上の条件を満たす関数\(F\)が与えられた場合、それに対して、何らかの確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において定義された何らかの確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}F_{X}=F
\end{equation*}を満たすということです。
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすならば、\(F\)を分布関数とする確率変数が存在する。
確率変数の分布関数は単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)です。逆に、上の命題より、単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)であるような関数は何らかの確率変数の分布関数です。したがって、以上の3つの性質こそが分布関数を特徴づける性質であると結論付けることができます。このような事情を踏まえると、以上の3つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として分布関数の概念を定義することも可能です。
演習問題
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in E\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in E\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。可測な事象に関する指示関数\(1_{E}\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}1_{E}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(1_{E}\)は離散型の確率変数です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を特定してください。
\end{equation*}を満たすものとします。ただし、\(c\in \mathbb{R} \)です。加えて、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( if\ x\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。このような確率変数をほとんど確実に一定の確率変数（almost surely random variable）と呼びます。ほとんど確実に一定の確率変数は定数関数である必要はなく、異なる値をとり得ます。ただ、実際に実現する値は1つの値\(c\)だけです。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
P\left( X=x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{5-x}{10} & \left( if\ x=1,2,3,4\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つものとします。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
\end{equation*}であり、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}P\left( X=x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{2^{x}} & \left( if\ x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めた上で、以下の確率\begin{eqnarray*}&&P\left( 2<X\leq 5\right) \\
&&P\left( X>4\right)
\end{eqnarray*}をそれぞれ求めてください。
\end{equation*}が成り立つことを本文中で明らかにしました。加えて、\begin{equation*}
P\left( X\geq x\right) =1-\lim_{y\rightarrow x-}F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}もまた成り立つことを示してください。
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つことを本文中で明らかにしました。加えて、\begin{eqnarray*}
\left( a\right) \ P\left( x_{1}\leq X<x_{2}\right) &=&\lim_{y\rightarrow
x_{2}-}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow x_{1}-}F_{X}\left( y\right)
\\
\left( b\right) \ P\left( x_{1}\leq X\leq x_{2}\right) &=&F_{X}\left(
x_{2}\right) -\lim_{y\rightarrow x_{1}-}F_{X}\left( y\right) \\
\left( c\right) \ P\left( x_{1}<X<x_{2}\right) &=&\lim_{y\rightarrow
x_{2}-}F_{X}\left( y\right) -F_{X}\left( x_{1}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つことを示してください。
\end{equation*}という関係が成り立つことを本文中で明らかにしました。加えて、\begin{equation*}
P\left( X\geq x\right) =1-\lim_{y\rightarrow x-}F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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