離散型確率変数の確率質量関数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、もとの可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をもう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)上に存在する実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定するということです。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。加えて、\(X\)は離散型の確率変数であるものとします。つまり、\(X\)の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合であるということです。
写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が確率変数であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たすこととして定義されます。つまり、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。
実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、1点集合\(\left\{ x\right\} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\left\{ x\right\} \in \mathcal{B}\)が成り立つため、確率変数の定義より、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in \left\{ x\right\}
\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、実数\(x\)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)と一致する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証されるということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(x\)と一致する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X=x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) =x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&P\left( X=x\right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) =x\right\}
\right)
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の確率質量関数（probability mass function）や確率関数（probability function）などと呼びます。
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)を構成する確率測度\(P\)もまた確率関数と呼ばれることもありますが、これは上で定義した確率関数\(f_{X}\)とは異なる概念です。確率関数という用語がどちらの意味で使われているかは文脈から判断する必要があります。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「コインの表が出る回数」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。加えて、\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) =x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) & \left( if\ x=0\right) \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) & \left( if\ x=1\right) \\
P\left( \phi \right) & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1-p & \left( if\ x=0\right) \\
p & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。以上の\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。「表が出れば1万円をもらえる一方で裏が出れば1万円を支払う」ことに興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
10000 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
-10000 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める写像\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<-10000\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ -10000\leq x<10000\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 10000\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(Y\)は確率変数です。加えて、\(Y\)の値域は、\begin{eqnarray*}Y\left( \Omega \right) &=&\left\{ Y\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 10000,-10000\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは有限集合であるため、\(Y\)は離散型の確率変数です。確率質量関数\(f_{Y}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{Y}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left(
\omega \right) =x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) & \left( if\
x=-10000\right) \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) & \left( if\ x=10000\right)
\\
P\left( \phi \right) & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1-p & \left( if\ x=-10000\right) \\
p & \left( if\ x=10000\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
\end{equation*}と表されるということです。定値写像\(X\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ c\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(X\)は離散型の確率変数です。確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}f_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) =x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x=c\right) \\
P\left( \phi \right) & \left( otherwise\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=c\right) \\
0 & \left( if\ x\not=c\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}という形で表される場合、このような確率変数をほとんど確実に一定の確率変数（almost surely random variable）と呼びます。定数確率変数とほとんど確実に一定の確率変数は形式的に同一の確率質量関数を持っていますが、厳密には、これらは異なる種類の確率変数です。定数確率変数は定数関数である一方、ほとんど確実に一定の確率変数は定数関数である必要はなく、異なる値をとり得ます。ただ、実際に実現する値は1つの値\(c\)だけです。
離散型確率変数の分布関数と確率質量関数の関係
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられており、その分布関数が\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であり、確率質量関数が\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。
以上の状況において\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\sum_{x_{i}\leq x}f_{X}\left( x_{i}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(x\)以下のそれぞれの値\(x_{i}\)に対して、\(X\)の実現値が\(x_{i}\)と一致する確率\(f_{X}\left( x_{i}\right) \)を特定し、それらの総和をとれば、\(X\)の実現値が\(x\)以下になる確率\(F_{X}\left(x\right) \)が得られるということです。
\end{equation*}が成り立つ。
以上の関係を利用すれば、離散型確率変数の確率質量関数から分布関数を導くことができます。逆に、以下の命題を利用すれば、分布関数から確率質量関数を導くことができます。
x-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow x+}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
離散型確率変数の実現値が集合に属する確率
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられており、その確率質量関数が\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。確率変数の値域\begin{equation*}X\left( \Omega \right) =\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\}
\end{equation*}は有限集合または可算集合ですが、その部分集合\begin{equation*}
A\subset X\left( \Omega \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、\(X\)の実現値が\(A\)に属する確率が、\begin{equation*}P\left( X\in A\right) =\sum_{x\in A}f_{X}\left( x\right)
\end{equation*}として定めることが保証されます。つまり、集合\(A\)に属するそれぞれの値\(x\)について、\(X\)の実現値が\(x\)と一致する確率\(f_{X}\left( x\right) \)をとり、それらの総和をとれば\(X\)の実現値が\(A\)に属する確率\(P\left( X\in A\right) \)が得られるということです。ただし、\(A\)が有限集合である場合には右辺は有限個の実数の和である一方、\(A\)が無限可算集合である場合には右辺は無限級数です。
\end{equation*}という関係が成り立つ。
X\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1,2,3\right\}
\end{equation*}であるような確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)に加えて、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定める確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を先に定義しましたが、先の命題より、「表が奇数回出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X\in \left\{ 1,3\right\} \right) &=&f_{X}\left( 1\right)
+f_{X}\left( 3\right) \\
&=&\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。また、「表が\(2\)回以上出る」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X\in \left\{ 2,3\right\} \right) &=&f_{X}\left( 2\right)
+f_{X}\left( 3\right) \\
&=&\frac{3}{8}+\frac{1}{8} \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}となります。
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先の命題より、「\(X\)の実現値が\(3\)以下」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X\in \left\{ 1,2,3\right\} \right) &=&f_{X}\left( 1\right)
+f_{X}\left( 2\right) +f_{X}\left( 3\right) \\
&=&\frac{1}{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{2}+\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}
\\
&=&\frac{7}{8}
\end{eqnarray*}となります。また、「\(X\)の実現値が奇数」という事象の確率は、\begin{eqnarray*}P\left( X\in \left\{ 1,3,5,\cdots \right\} \right) &=&f_{X}\left( 1\right)
+f_{X}\left( 3\right) +f_{X}\left( 5\right) +\cdots \\
&=&\sum_{k=1}^{+\infty }f_{X}\left( 2k-1\right) \\
&=&\sum_{k=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{\left( 2k-1\right)
-1}\left( \frac{1}{2}\right) \quad \because f_{X}\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{2k-1} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left( \frac{1}{2}\right)
^{2k-1}\quad \because \text{無限級数の和}
\\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \frac{2}{3}-\frac{2}{3}\left( \frac{1}{4}\right) ^{n}\right] \\
&=&\frac{2}{3}
\end{eqnarray*}となります。
確率質量関数の非負性
確率質量関数は非負の実数を値としてとります。特に、確率変数の値域に属さない値に対して、確率質量関数はゼロを値として定めます。
\end{equation*}が成り立つ。特に、\(x\not\in X\left( \Omega \right) \)である場合には、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成立しています。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。任意の\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}が成立しています。
確率質量関数の値の総和
確率変数がとり得るそれぞれの値に対して確率質量関数が定める値の総和をとると\(1\)になります。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} & \left( if\ x=0,1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right) &=&\sum_{x=0}^{3}\binom{3}{x}\left( \frac{1}{2}\right) ^{3} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\sum_{x=0}^{3}\binom{3}{x} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\right) ^{3}\cdot 2^{3}\quad \because \text{二項係数の和} \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
\end{equation*}であるとともに、確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) & \left( if\
x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
\sum_{x\in X\left( \Omega \right) }f_{X}\left( x\right)
&=&\sum_{x=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right) ^{x-1}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{2}\right) \sum_{x=1}^{+\infty }\left( \frac{1}{2}\right)
^{x-1} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\right) \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{x=1}^{n}\left(
\frac{1}{2}\right) ^{x-1}\quad \because \text{無限級数の和} \\
&=&\left( \frac{1}{2}\right) \lim_{n\rightarrow \infty }\left[ 2-2\left(
\frac{1}{2}\right) ^{n}\right] \\
&=&\frac{1}{2}\cdot 2 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
確率質量関数の特徴づけ
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた場合、その確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は非負の値をとり得るとともに、それらの値の総和をとると\(1\)になることが明らかになりました。逆に、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が以上の性質を満たす場合、すなわち、以下の集合\begin{equation*}
X_{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >0\right\}
\end{equation*}が有限集合または可算集合であるとともに、以下の条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \sum_{x\in X_{f}}f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}がともに成り立つ場合には、この関数は何らかの離散型確率変数の確率質量関数になることが保証されます。つまり、以上の条件を満たす関数\(f\)が与えられた場合、それに対して、何らかの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において定義された何らかの離散型の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}f=f_{X}
\end{equation*}を満たすということです。
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \sum_{x\in X_{f}}f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}を満たすならば、\(f\)を確率質量関数とする離散型の確率変数が存在する。
離散型確率変数の確率質量関数は非負の値をとり得るとともに、それらの値の総和をとると\(1\)になることが明らかになりました。逆に、上の命題より、同様の性質を満たす関数は何らかの離散型確率変数の確率質量関数です。このような事情を踏まえると、以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ X_{f}=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) >0\right\} \text{は有限集合または可算集合} \\
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) \geq 0 \\
&&\left( c\right) \ \sum_{x\in X_{f}}f\left( x\right) =1
\end{eqnarray*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として確率質量関数の概念を定義することも可能です。
演習問題
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in E\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in E\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。指示関数\(1_{E}\)は確率変数であるとともに、その値域は、\begin{equation*}1_{E}\left( \Omega \right) =\left\{ 0,1\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため、\(1_{E}\)は離散型の確率変数です。確率質量関数\(f_{1_{E}}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
cx^{2} & \left( if\ x=1,2,3\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(f_{X}\)が確率質量関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
\end{equation*}であるものとします。関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
c\left( \frac{1}{4}\right) ^{x} & \left( if\ x=1,2,3,\cdots \right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f_{X}\)が確率質量関数であるために\(c\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
\end{equation*}であるものとします。確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{5} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以下の確率\begin{equation*}
P\left( 1\leq X<4\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{x}{210} & \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以下の確率\begin{equation*}
P\left( X>17\right)
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}であるものとします。確率質量関数\(f_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\begin{equation*}f_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\dbinom{3}{x}\left( \frac{1}{4}\right) ^{x}\left( \frac{3}{4}\right) ^{3-x}
& \left( if\ x\in X\left( \Omega \right) \right) \\
0 & \left( if\ x\not\in X\left( \Omega \right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。以下の確率\begin{equation*}
P\left( X<3\right)
\end{equation*}を求めてください。
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