定値写像（定数関数）は確率変数

定値写像は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間とボレル集合からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)が与えられた状況において、定値写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)が任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるということです。

定値写像は確率変数です。

命題（定値写像は確率変数）

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて定値写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。つまり、\(X\)が\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表される。\(X\)は確率変数である。

証明

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例（定値写像は確率変数）

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているとともに、これはそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は定値写像であるため、先の命題より\(X\)は確率変数です。

定値写像は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、拡大実数系とボレル集合からなる可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\overline{\mathcal{B}}\right) \)が与えられた状況において、定値写像\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。つまり、\(X\)が任意の標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、拡大実数値であるような定数\(c\in \overline{\mathbb{R} }\)を用いて\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表されるということです。

命題（定値写像は拡大実数値確率変数）

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \overline{\mathbb{R} },\overline{\mathcal{B}}\right) \)に加えて定値写像\(X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。つまり、\(X\)が\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、拡大実数定数\(c\in \overline{\mathbb{R} }\)を用いて、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =c
\end{equation*}と表される。\(X\)は拡大実数値確率変数である。

証明

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例（定値写像は拡大実数値確率変数）

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \overline{\mathbb{R} },\overline{\mathcal{B}}\right) \)に加えて写像\(X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているとともに、これはそれぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =+\infty
\end{equation*}を定めるものとします。\(X\)は定値写像であるため、上の命題より\(X\)は拡大実数値確率変数です。

演習問題

問題（確率変数が定置写像であるための必要十分条件）

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、事象空間が、\begin{equation*}\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\Omega \right\}
\end{equation*}であることと、\(X\)が定値写像であることは必要十分であることを示してください。

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問題（定数値確率変数が生成するσ-代数）

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて定数値の確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。このとき、\begin{equation*}\sigma \left( X\right) =\left\{ \phi ,\Omega \right\}
\end{equation*}であることを示してください。

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