確率変数の分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、もとの可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実をもう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)上に存在する実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定するということです。ただし、\(\mathcal{B}\)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。
確率変数の定義より以下の条件\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}:\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}:X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つため、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\)に対して、その逆像\(X^{-1}\left( B\right) \)に相当する事象が起こる確率\begin{equation*}P\left( X^{-1}\left( B\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を特定します。そこでこれを確率変数\(X\)の値が集合\(B\)に属する確率として採用し、\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( X^{-1}\left( B\right) \right)
\end{equation*}で表記します。
このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\)に対して、確率変数\(X\)の値が\(B\)に属する確率\begin{eqnarray*}\mu _{X}\left( B\right) &=&P\left( X\in B\right) \\
&=&P\left( X^{-1}\left( B\right) \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in
B\right\} \right)
\end{eqnarray*}を特定する写像\begin{equation*}
\mu _{X}:\mathcal{B}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布（distribution）と呼びます。
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)から以上の要領でその分布\(\mu _{X}:\mathcal{B}\rightarrow \mathbb{R} \)を構成すると、これは変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)における確率測度になります。つまり、分布\(\mu _{X}\)は以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall B\in \mathcal{B}:\mu _{X}\left( B\right) \geq 0
\\
&&\left( b\right) \ \mu _{X}\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall \text{排反な}B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{B}:\mu _{X}\left( \bigcup_{i\in \mathbb{N} }B_{i}\right) =\sum_{i\in \mathbb{N} }\mu _{X}\left( B_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B},\mu _{X}\right)
\end{equation*}は確率空間になります。
確率変数の分布関数
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が満たすべき条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}:\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}は以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in (-\infty
,x]\right\} \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :X^{-1}\left( (-\infty ,x]\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分であるため、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\(x\)を端点とする区間\((-\infty ,x]\)の逆像\(X^{-1}\left( (-\infty ,x]\right) \)に相当する事象が起こる確率\begin{equation*}P\left( X^{-1}\left( (-\infty ,x]\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を特定します。そこでこれを確率変数\(X\)の値が\(x\)以下になる確率として採用し、\begin{eqnarray*}P\left( X\leq x\right) &=&P\left( X^{-1}\left( (-\infty ,x]\right) \right)
\\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq
x\right\} \right)
\end{eqnarray*}で表記します。
このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、確率変数\(X\)の値が\(x\)以下になる確率\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( X\leq x\right) \\
&=&P\left( X^{-1}\left( (-\infty ,x]\right) \right) \\
&=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq
x\right\} \right)
\end{eqnarray*}を特定する関数\begin{equation*}
F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布関数（distribution function）と呼びます。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間として、\begin{equation*}
\mathcal{F}=\left\{ \phi ,\Omega ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{
\text{裏}\right\} \right\}
\end{equation*}を採用し、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとします。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)は定数です。以上のように定義される\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間です。写像\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}X\left( \text{表}\right) &=&1 \\
X\left( \text{裏}\right) &=&0
\end{eqnarray*}と定義すれば、これは確率変数になります（演習問題）。\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}であり、分布関数\(F_{X}\left(x\right) \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。
分布関数がとり得る値の範囲
確率変数の分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。任意\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{X}\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は単調増加
確率変数の分布関数は単調増加（単調非減少）関数です。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\begin{equation*}
0\leq 1-p\leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\(x\leq y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) \leq F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で単調増加です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は右側連続
確率変数の分布関数は定義域上の任意の点において右側連続です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(x<0\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{X}\)は\(x<0\)を満たす\(x\)上で右側連続です。点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
1-p\right) \quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1-p \\
&=&F_{X}\left( 0\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(F_{X}\)は点\(0\)において右側連続です。\(0<x<1\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(1-p\)であるため、\(F_{X}\)は\(0<x<1\)を満たす\(x\)上で右側連続です。点\(1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(F_{X}\)は点\(1\)において右側連続です。\(x>1\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(1\)であるため、\(F_{X}\)は\(x>1\)を満たす\(x\)上で右側連続です。以上より、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は定義域上のそれぞれの点において左側連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となることを先に確認しました。この分布関数は点\(0\)において左側連続ではありません。\(F_{X}\)の点\(0\)における左側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\(F_{X}\)の点\(0\)における値は、\begin{equation*}F_{X}\left( 0\right) =1-p
\end{equation*}であるため、これと\(p\in \left( 0,1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) \not=F_{X}\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
確率変数の分布関数は右側連続である一方で左側連続であるとは限らないこと、すなわち連続であるとは限らないことが明らかになりました。ただし、分布関数が左側連続ではない点からなる集合、すなわち分布関数が連続ではない点からなる集合は高々可算集合です。つまり、分布関数が連続ではない点の個数は有限個であるか、もしくは可算個であるということです。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(F_{X}\)は点\(0\)においてのみ不連続であるため、\(F_{X}\)が不連続な点の個数は有限です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数の無限大における極限
確率変数の分布関数は正の無限大において\(1\)へ収束し、負の無限大において\(0\)へ収束します。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、正の無限大における\(F_{X}\)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }1\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の正の無限大における極限}
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における\(F_{X}\)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の負の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
確率変数がある値より大きい値をとる確率
確率変数がある値よりも大きい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>\frac{1}{2}\right) &=&1-F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>1\right) &=&1-F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
確率変数の値が区間におさまる確率
確率変数の値が区間におさまる確率は以下のようにして導出できます。
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( 0<X\leq \frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -0 \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( \frac{1}{2}<X\leq 1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -F_{X}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。
確率変数がある値より小さい値をとる確率
確率変数がある値より小さい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{1}{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}F_{X}\left(
x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<1\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。
確率変数が特定の値をとる確率
確率変数が特定の値をとる確率は以下のようにして導出できます。
x-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow x+}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left[ 0,1\right] \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X=0\right) &=&F_{X}\left( 0\right) -\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\lim_{x\rightarrow 0-}0 \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=\frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}\left( 1-p\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\left( 1-p\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&1-\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。
分布関数の特徴づけ
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた場合、その分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)であることを示しました。逆に、関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が以上の3つの性質を満たす場合、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合、この関数は何らかの確率変数の分布関数になることが保証されます。つまり、以上の条件を満たす関数\(F\)が与えられた場合、それに対して、何らかの確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において定義された何らかの確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}F_{X}=F
\end{equation*}を満たすということです。
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすならば、\(F\)を分布関数とする確率変数が存在する。
確率変数の分布関数は単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)です。逆に、上の命題より、単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)であるような関数は何らかの確率変数の分布関数です。したがって、以上の3つの性質こそが分布関数を特徴づける性質であると結論付けることができます。このような事情を踏まえると、以上の3つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として分布関数の概念を定義することも可能です。
演習問題
\end{equation*}と表されるということです。この写像\(X\)は確率変数ですが、その分布関数を特定してください。
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