確率変数の分布
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実を実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)に変換して表現する状況を想定します。
確率変数の定義より、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族です。つまり、ボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が集合\(B\)に属する」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(B\)に属する」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\in B\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega
\right) \in B\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれのボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)に対して、\begin{equation*}\mu _{X}\left( B\right) =P\left( X\in B\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\mu _{X}:\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布（distribution）と呼びます。
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)の分布\(\mu _{X}:\mathcal{B}\rightarrow \mathbb{R} \)はルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)における確率測度になります。つまり、分布\(\mu _{X}\)は以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\mu _{X}\left( B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ \mu _{X}\left( \mathbb{R} \right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall \text{排反な}B_{1},B_{2},\cdots \in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\mu _{X}\left( \bigcup_{i\in \mathbb{N} }B_{i}\right) =\sum_{i\in \mathbb{N} }\mu _{X}\left( B_{i}\right)
\end{eqnarray*}を満たすということです。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) ,\mu _{X}\right)
\end{equation*}は確率空間です。
確率変数の分布関数
確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が満たすべき条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in B\right\}
\in \mathcal{F}
\end{equation*}は、以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R} :\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\} \in
\mathcal{F}
\end{equation*}と必要十分です。つまり、実数\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、「\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象がもとの確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において可測になることが保証される場合には、\(X\)を確率変数と呼ぶということです。
以上の条件が満たされる場合、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、「確率変数\(X\)の実現値が\(x\)以下になる」という事象の確率\begin{equation*}P\left( X\leq x\right) =P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定できます。このような事情を踏まえると、それぞれの実数\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =P\left( X\leq x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを確率変数\(X\)の分布関数（distribution function）や累積分布関数（cumulative distribution function）などと呼びます。
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}です。事象空間を、\begin{eqnarray*}
\mathcal{F} &=&2^{\Omega } \\
&=&\left\{ \phi ,\left\{ \text{表}\right\} ,\left\{ \text{裏}\right\} ,\Omega \right\}
\end{eqnarray*}と定めた上で、確率測度\(P:\mathcal{F}\rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{eqnarray*}P\left( \phi \right) &=&0 \\
P\left( \left\{ \text{表}\right\} \right) &=&p \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) &=&1-p \\
P\left( \Omega \right) &=&1
\end{eqnarray*}を満たすものとして定めます。ただし、\(p\in \left( 0,1\right) \)です。これらの組\begin{equation*}\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right)
\end{equation*}は確率空間です。「コインの表が出る回数」に興味がある場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}X\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega =\text{表}\right) \\
0 & \left( if\ \omega =\text{裏}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入することになります。\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \leq x\right\}
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ x<0\right) \\
\left\{ \text{裏}\right\} & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
\Omega & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&\in &\mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立つため\(X\)は確率変数です。加えて、\(X\)の値域は、\begin{eqnarray*}X\left( \Omega \right) &=&\left\{ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \ |\ \omega \in \Omega \right\} \\
&=&\left\{ 0,1\right\}
\end{eqnarray*}です。分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値は、\begin{eqnarray*}F_{X}\left( x\right) &=&P\left( \left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left(
\omega \right) \leq x\right\} \right) \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
P\left( \phi \right) & \left( if\ x<0\right) \\
P\left( \left\{ \text{裏}\right\} \right) & \left( if\ 0\leq
x<1\right) \\
P\left( \Omega \right) & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}です。
分布関数がとり得る値の範囲
確率変数の分布関数は\(0\)以上\(1\)以下の実数を値としてとります。
\end{equation*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。任意\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}0\leq F_{X}\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}が成立しています。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は単調増加関数
確率変数の分布関数は単調増加（単調非減少）関数です。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\begin{equation*}
0\leq 1-p\leq 1
\end{equation*}であることを踏まえると、\(x\leq y\)を満たす\(x,y\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) \leq F_{X}\left( y\right)
\end{equation*}が成り立つため、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で単調増加です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は右側連続
確率変数の分布関数は定義域上の任意の点において右側連続です。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(x<0\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(0\)であるため、\(F_{X}\)は\(x<0\)を満たす\(x\)上で右側連続です。点\(0\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\left(
1-p\right) \quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1-p \\
&=&F_{X}\left( 0\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(F_{X}\)は点\(0\)において右側連続です。\(0<x<1\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(1-p\)であるため、\(F_{X}\)は\(0<x<1\)を満たす\(x\)上で右側連続です。点\(1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 1+}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1+}1\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1 \\
&=&F_{X}\left( 1\right) \quad \because F_{X}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つため、\(F_{X}\)は点\(1\)において右側連続です。\(x>1\)を満たす\(x\)上で\(F_{X}\)は定数関数\(1\)であるため、\(F_{X}\)は\(x>1\)を満たす\(x\)上で右側連続です。以上より、\(F_{X}\)は\(\mathbb{R} \)上で右側連続であることが明らかになりました。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数は定義域上のそれぞれの点において左側連続であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}となることを先に確認しました。この分布関数は点\(0\)において左側連続ではありません。実際、\(F_{X}\)の点\(0\)における左側極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0-}0\quad
\because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の左側極限}
\end{eqnarray*}である一方で、\(F_{X}\)の点\(0\)における値は、\begin{equation*}F_{X}\left( 0\right) =1-p
\end{equation*}であるため、これと\(p\in \left( 0,1\right) \)より、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}F_{X}\left( x\right) \not=F_{X}\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つからです。
確率変数の分布関数は右側連続である一方で左側連続であるとは限らないこと、すなわち連続であるとは限らないことが明らかになりました。ただし、分布関数が左側連続ではない点からなる集合、すなわち分布関数が連続ではない点からなる集合は高々可算集合です。つまり、分布関数が連続ではない点の個数は有限個または可算個であるということです。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。\(F_{X}\)は点\(0\)においてのみ不連続であるため、\(F_{X}\)が不連続な点の個数は有限です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
分布関数の無限大における極限
確率変数の分布関数は正の無限大において\(1\)へ収束し、負の無限大において\(0\)へ収束します。
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、正の無限大における\(F_{X}\)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow +\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
+\infty }1\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&1\quad \because \text{定数関数の正の無限大における極限}
\end{eqnarray*}であり、負の無限大における\(F_{X}\)の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow -\infty }F_{X}\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow
-\infty }0\quad \because F_{X}\text{の定義} \\
&=&0\quad \because \text{定数関数の負の無限大における極限}
\end{eqnarray*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
確率変数がある値より大きい値をとる確率
確率変数がある値よりも大きい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X>0\right) &=&1-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&1-0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>\frac{1}{2}\right) &=&1-F_{X}\left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X>1\right) &=&1-F_{X}\left( 1\right) \\
&=&1-1 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。
確率変数の値が区間におさまる確率
確率変数の値が区間におさまる確率は以下のようにして導出できます。
x_{1}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( 0<X\leq \frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-F_{X}\left( 0\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -0 \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( \frac{1}{2}<X\leq 1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -F_{X}\left(
\frac{1}{2}\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。
確率変数がある値より小さい値をとる確率
確率変数がある値より小さい値をとる確率は以下のようにして導出できます。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X<\frac{1}{2}\right) &=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}F_{X}\left(
x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X<1\right) &=&\lim_{x\rightarrow 1-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。
確率変数が特定の値をとる確率
確率変数が特定の値をとる確率は以下のようにして導出できます。
x-}F_{X}\left( y\right) \\
&=&\lim_{y\rightarrow x+}F_{X}\left( y\right) -\lim_{y\rightarrow
x-}F_{X}\left( y\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}であるとともに、分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値がある定数\(p\in \left( 0,1\right) \)を用いて、\begin{equation*}F_{X}\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x<0\right) \\
1-p & \left( if\ 0\leq x<1\right) \\
1 & \left( if\ x\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と表されるものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
P\left( X=0\right) &=&F_{X}\left( 0\right) -\lim_{x\rightarrow
0-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\lim_{x\rightarrow 0-}0 \\
&=&1-p
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=\frac{1}{2}\right) &=&F_{X}\left( \frac{1}{2}\right)
-\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\lim_{x\rightarrow \frac{1}{2}-}\left( 1-p\right) \\
&=&\left( 1-p\right) -\left( 1-p\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
P\left( X=1\right) &=&F_{X}\left( 1\right) -\lim_{x\rightarrow
1-}F_{X}\left( x\right) \\
&=&1-\lim_{x\rightarrow 1-}\left( 1-p\right) \\
&=&1-\left( 1-p\right) \\
&=&p
\end{eqnarray*}となります。
分布関数の特徴づけ
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた場合、その分布関数\(F_{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)であることを示しました。逆に、関数\begin{equation*}F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が以上の3つの性質を満たす場合、すなわち、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}をすべて満たす場合、この関数は何らかの確率変数の分布関数になることが保証されます。つまり、以上の条件を満たす関数\(F\)が与えられた場合、それに対して、何らかの確率空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F},P\right) \)において定義された何らかの確率変数\(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}F_{X}=F
\end{equation*}を満たすということです。
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすならば、\(F\)を分布関数とする確率変数が存在する。
確率変数の分布関数は単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)です。逆に、上の命題より、単調増加かつ右側連続であるとともに、正の無限大における極限が\(1\)であり、負の無限大における極限が\(0\)であるような関数は何らかの確率変数の分布関数です。したがって、以上の3つの性質こそが分布関数を特徴づける性質であると結論付けることができます。このような事情を踏まえると、以上の3つの性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall x,y\in \mathbb{R} :\left[ x\leq y\Rightarrow F\left( x\right) \leq F\left( y\right) \right] \\
&&\left( b\right) \ \forall a\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}F\left( x\right) =F\left( a\right) \\
&&\left( c\right) \ \lim_{x\rightarrow +\infty }F\left( x\right) =1\wedge
\lim_{x\rightarrow -\infty }F\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たす関数\(F:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)として分布関数の概念を定義することも可能です。
演習問題
\end{equation*}と表現されるということです。\(X\)の分布関数を特定してください。
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