確率変数どうしの最大値と最小値は確率変数

有限個の確率変数の最大値は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
=\left\{
\begin{array}{cc}
X\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) \geq Y\left(
y\right) \right) \\
Y\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) <Y\left(
y\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega\right) \right\} \)は2つの実数からなる集合です。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最大値は1つの有限な実数として定まるため、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\max \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left(
\omega \right) \right\} \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\max \left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\max \left\{ X\left( \omega
\right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

上の命題は2つの確率変数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の確率変数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて有限\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最大値は1つの有限な実数として定まるため、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}\left( \omega \right) =\max
\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right)
\right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

有限個の確率変数の最小値は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
=\left\{
\begin{array}{cc}
Y\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) \geq Y\left(
y\right) \right) \\
X\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) <Y\left(
y\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega\right) \right\} \)は2つの実数からなる集合です。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最小値は1つの有限な実数として定まるため、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\min \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left(
\omega \right) \right\} \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\min \left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\min \left\{ X\left( \omega
\right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

上の命題は2つの確率変数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の確率変数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて有限\(n\)個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最小値は1つの有限な実数として定まるため、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}\left( \omega \right) =\min
\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right)
\right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

有限個の拡大実数値確率変数の最大値は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの拡大実数値確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
Y &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
=\left\{
\begin{array}{cc}
X\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) \geq Y\left(
y\right) \right) \\
Y\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) <Y\left(
y\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega\right) \right\} \)は2つの拡大実数値からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合の最大値は1つの拡大実数値として定まるため、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\max \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left(
\omega \right) \right\} \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\max \left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\max \left\{ X\left( \omega
\right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。

上の命題は2つの拡大実数値確率変数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の拡大実数値確率変数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて有限\(n\)個の拡大実数値確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合の最大値は1つの拡大実数値として定まるため、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}\left( \omega \right) =\max
\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right)
\right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。

有限個の拡大実数値確率変数の最小値は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの拡大実数値確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
Y &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
=\left\{
\begin{array}{cc}
Y\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) \geq Y\left(
y\right) \right) \\
X\left( \omega \right) & \left( if\ X\left( \omega \right) <Y\left(
y\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left( \omega\right) \right\} \)は2つの拡大実数値からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合の最小値は1つの拡大実数値として定まるため、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\min \left\{ X\left( \omega \right) ,Y\left(
\omega \right) \right\} \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\min \left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\min \left\{ X\left( \omega
\right) ,Y\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min \left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。

上の命題は2つの拡大実数値確率変数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の拡大実数値確率変数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて有限\(n\)個の拡大実数値確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}が与えられているものとします。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合の最小値は1つの拡大実数値として定まるため、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}\left( \omega \right) =\min
\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,\cdots ,X_{n}\left( \omega \right)
\right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }X_{i}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。