確率変数どうしの商は確率変数

確率変数どうしの商は確率変数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \frac{1}{X}\right) \left( \omega \right) =\frac{1}{X\left( \omega
\right) }
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\frac{1}{X}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、以下の条件\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :Y\left( \omega \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。すると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \frac{X}{Y}\right) \left( \omega \right) =\frac{X\left( \omega
\right) }{Y\left( \omega \right) }
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\frac{X}{Y}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

拡大実数値確率変数どうしの商は拡大実数値確率変数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて拡大実数値確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。ただし、以下の条件\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) \not=0
\end{equation*}が成り立つものとします。すると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( \frac{1}{X}\right) \left( \omega \right) =\frac{1}{X\left( \omega
\right) }
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\frac{1}{X}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値関数になることが保証されます。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの拡大実数値確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
Y &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :\frac{X\left( \omega \right) }{Y\left( \omega
\right) }\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( \frac{X}{Y}\right) \left( \omega \right) =\frac{X\left( \omega
\right) }{Y\left( \omega \right) }
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\frac{X}{Y}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。

先の命題では2つの拡大実数値確率変数\(X,Y:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :\frac{X\left( \omega \right) }{Y\left( \omega
\right) }\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists \omega \in \Omega :\frac{X\left( \omega \right) }{Y\left( \omega
\right) }\not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも写像\(\frac{X}{Y}:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義不可能であるため、\(\frac{X}{Y}\)が拡大実数値確率変数であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの標本点\(\omega \in \Omega \)のもとで、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =0
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\frac{X\left( \omega \right) }{Y\left( \omega \right) }=\frac{X\left( \omega
\right) }{0}
\end{equation*}となってしまいます。拡大実数をゼロで割ることはできません。また、何らかの標本点\(\omega \in \Omega \)のもとで、\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &=&+\infty \\
Y\left( \omega \right) &=&+\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、これらの積\begin{equation*}
\frac{X\left( \omega \right) }{Y\left( \omega \right) }=\frac{+\infty }{+\infty }
\end{equation*}は不定形になってしまいます。いずれにせよ、このような場合、写像\(\frac{X}{Y}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(\frac{X}{Y}\)は拡大実数値確率変数ではありません。

演習問題