指示関数（指示確率変数）

指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられた状況において可測な事象\(E\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。その上で、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}1_{E}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ \omega \in E\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in E\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
1_{E}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまりこれは、事象\(E\)が起きた場合にはその事実を\(1\)という数字で表現し、事象\(E\)が起こらない場合にはその事実を\(0\)という数字で表現する写像です。このような写像を事象\(E\)に関する指示関数（indicator function of the event \(E\)）や事象\(E\)に関する指示確率変数（indicator random variable of the event \(E\)）などと呼びます。

指示関数は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間とボレル集合からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)が与えられた状況において、可測な事象\(E\in \mathcal{F}\)を任意に選んだ上で、この事象に関する指示関数\begin{equation*}1_{E}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、\(1_{E}\)がそれぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して定める値は、\begin{equation*}1_{E}\left( \omega \right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ \omega \in E\right) \\
0 & \left( if\ \omega \not\in E\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。以上のように定義された指示関数\(1_{E}\)は確率変数になることが保証されます。

空事象に関する指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、空事象は可測であり\(\phi \in \mathcal{F}\)が成り立つため、空事象に関する指示関数\begin{equation*}1_{\phi }:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた定義可能ですが、これは\(0\)のみを値としてとる定数関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :1_{\phi }\left( \omega \right) =0
\end{equation*}を満たします。

全体事象に関する指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、全体事象は可測であり\(\Omega \in \mathcal{F}\)が成り立つため、全体事象に関する指示関数\begin{equation*}1_{\Omega }:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}もまた定義可能ですが、これは\(1\)のみを値としてとる定数関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :1_{\Omega }\left( \omega \right) =1
\end{equation*}を満たします。

包含関係と指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、2つの可測事象\(A,B\in \mathcal{F}\)の間に\(A\subset B\)が成り立つものとします。それぞれの事象に関する事象関数\begin{eqnarray*}1_{A} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
1_{B} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義すると、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :1_{A}\left( \omega \right) \leq 1_{B}\left(
\omega \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1_{A}\leq 1_{B}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(A\)が\(B\)の部分事象である場合、\(1_{A}\)が定める値は\(1_{B}\)が定める値以下になります。

余事象と指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、可測事象\(A\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。事象空間\(\mathcal{F}\)は補集合について閉じているため\(A^{c}=\Omega\backslash A\in \mathcal{F}\)です。したがって、これらの事象から指示関数\begin{eqnarray*}1_{A} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
1_{A^{c}} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義することができますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :1_{A^{c}}\left( \omega \right) =1-1_{A}\left(
\omega \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1_{A^{c}}=1-1_{A}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、余事象\(A^{c}\)の指示関数が定める値は、\(1\)と事象\(A\)の指示関数が定める値の差と一致します。

積事象と指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、2つの可測事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。事象空間\(\mathcal{F}\)は共通部分について閉じているため\(A\cap B\in \mathcal{F}\)です。したがって、これらの事象から指示関数\begin{eqnarray*}1_{A} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
1_{B} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
1_{A\cap B} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義することができますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :1_{A\cap B}\left( \omega \right) =\min \left\{
1_{A}\left( \omega \right) ,1_{B}\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1_{A\cap B}=\min \left\{ 1_{A},1_{B}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、積事象\(A\cap B\)の指示関数が定める値は、個々の事象の指示関数が定める値の最小値と一致します。同時に、以下の関係\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :1_{A\cap B}\left( \omega \right) =1_{A}\left(
\omega \right) \cdot 1_{B}\left( \omega \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1_{A\cap B}=1_{A}\cdot 1_{B}
\end{equation*}もまた成り立ちます。積事象の指示関数が定める値は、個々の事象の指示関数が定める値の積と一致します。

和事象と指示関数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)が与えられたとき、2つの可測事象\(A,B\in \mathcal{F}\)を任意に選びます。事象空間\(\mathcal{F}\)は和集合について閉じているため\(A\cup B\in \mathcal{F}\)です。したがって、これらの事象から指示関数\begin{eqnarray*}1_{A} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
1_{B} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
1_{A\cup B} &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}をそれぞれ定義することができますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :1_{A\cup B}\left( \omega \right) =\max \left\{
1_{A}\left( \omega \right) ,1_{B}\left( \omega \right) \right\}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1_{A\cup B}=\max \left\{ 1_{A},1_{B}\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、和事象\(A\cup B\)の指示関数が定める値は、個々の事象の指示関数が定める値の最大値と一致します。特に、\(A\)と\(B\)が互いに素である場合には、すなわち、\begin{equation*}A\cap B=\phi
\end{equation*}である場合には、\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :1_{A\cup B}\left( \omega \right) =1_{A}\left(
\omega \right) +1_{B}\left( \omega \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
1_{A\cup B}=1_{A}+1_{B}
\end{equation*}もまた成り立ちます。互いに素な事象の和事象の指示関数が定める値は、個々の事象の指示関数が定める値の和と一致します。

演習問題