連続関数は可測関数
実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、その上で\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)から\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)への関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。つまり、一方の空間上の点\(x\in X\)を、もう一方の空間上の点\(f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)へ変換して表現する状況を想定するということです。
変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)において可測な集合、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\)を任意に選びます。もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)においてこの可測集合\(B\)に対応する集合は、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)のもとでの集合\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}に他なりません。したがって、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)において可測な集合\(B\)が与えられたとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)においてこの集合\(B\)に対応する集合が可測であるためには、以下の条件\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}
\end{equation*}が満たされている必要があります。つまり、\(f^{-1}\left( B\right) \)がボレル集合である必要があるということです。
以上を踏まえた上で、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)において可測な集合\(B\in \mathcal{B}\)を任意に選んだ場合、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)においてこの集合\(B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}:\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\in \mathcal{B}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はボレル可測である（Borel measurable）と言います。また、ボレル可測であるような写像をボレル可測関数（Borel measurable function）と呼びます。
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}:\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \in \mathcal{B}
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
関数が可測であることを以下のように表現することもできます。
\end{equation*}を満たす集合族\(\mathcal{A}\subset2^{\mathbb{R} }\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{B}
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がボレル可測関数であるための必要十分条件である。
関数\(f\)が連続である場合、\(f\)はボレル可測になることが保証されます。
ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が連続関数であるならば、\(f\)はボレル可測関数である。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。また、\(f\)は恒等関数であるため連続です。したがって先の命題より\(f\)はボレル可測です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。また、\(f\)は正弦関数であるため連続です。したがって先の命題より\(f\)はボレル可測です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。また、\(f\)は余弦関数であるため連続です。したがって先の命題より\(f\)はボレル可測です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。また、\(f\)は自然指数関数であるため連続です。したがって先の命題より\(f\)はボレル可測です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はボレル集合です。また、\(f\)は自然対数関数であるため連続です。したがって先の命題より\(f\)はボレル可測です。
先の命題の逆は成り立つとは限りません。つまり、ボレル可測関数は連続であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は明らかに連続ではありません。その一方で、\(f\)はボレル可測です（演習問題）。
確率変数とボレル可測関数の合成写像は確率変数
標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間とボレル集合からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて、確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、ボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
確率変数\(X\)の値域が可測関数\(f\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
f\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f\circ X\right) \left( \omega \right) =f\left( X\left( \omega \right)
\right)
\end{equation*}を像として定めます。
以上の状況において、この合成関数\(f\circ X\)もまた確率変数になることが保証されます。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。合成写像\(f\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ X\right) \left( \omega \right) &=&f\left( X\left( \omega
\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ X\left( \omega \right) \in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。先に示したように\(f\)はボレル可測であるため、先の命題より\(f\circ X\)は確率変数です。
確率変数と連続関数の合成写像は確率変数
標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間とボレル集合からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて、確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)が与えられた状況においてボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\)を任意に選び、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ただし、\(f\)は連続関数であるものとします。
確率変数\(X\)の値域が関数\(f\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成写像\begin{equation*}
f\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f\circ X\right) \left( \omega \right) =f\left( X\left( \omega \right)
\right)
\end{equation*}を像として定めます。
以上の状況において、この合成関数\(f\circ X\)もまた確率変数になることが保証されます。
\end{equation*}を定める関数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(Y\)は確率変数\(X\)と正弦関数\(\sin \left( x\right) \)の合成関数ですが、正弦関数は連続関数であるため、先の命題より\(Y\)は確率変数です。
\end{equation*}を定める関数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(Y\)は確率変数\(X\)と余弦関数\(\cos \left( x\right) \)の合成関数ですが、余弦関数は連続関数であるため、先の命題より\(Y\)は確率変数です。
\end{equation*}を定める関数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。この関数\(Y\)は確率変数\(X\)と自然指数関数\(e^{x}\)の合成関数ですが、自然指数関数は連続関数であるため、先の命題より\(Y\)は確率変数です。
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}Y\left( \omega \right) =\ln \left( X\left( \Omega \right) \right)
\end{equation*}を定める関数\(Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能です。この関数\(Y\)は確率変数\(X\)と自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)の合成関数ですが、自然対数関数は連続関数であるため、先の命題より\(Y\)は確率変数です。
演習問題
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)がボレル可測関数であることを示してください。
f\circ X\right) \left( \omega \right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&g\left( f\left( X\left( \omega \right) \right) \right) \quad \because
\text{合成写像の定義}
\end{eqnarray*}です。\(X\)が確率変数であり、\(f\)と\(g\)がともに連続関数である場合には、\(g\circ f\circ X\)が確率変数であることを示してください。
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