確率変数とボレル可測関数の合成関数は確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義されたボレル可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
確率変数\(X\)の値域が関数\(f\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f\circ X\right) \left( \omega \right) =f\left( X\left( \omega \right)
\right)
\end{equation*}を値として定めます。
以上の状況において、合成関数\(f\circ X\)もまた確率変数になることが保証されます。確率変数とボレル可測関数の合成関数は確率変数になるということです。
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は連続関数ではありませんがボレル可測関数です（演習問題）。合成写像\(f\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \Omega \)に対して、\begin{eqnarray*}\left( f\circ X\right) \left( \omega \right) &=&f\left( X\left( \omega
\right) \right) \quad \because \text{合成写像の定義} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ X\left( \omega \right) \in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right. \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}を定めます。\(f\)はボレル可測であるため、先の命題より\(f\circ X\)は確率変数です。
確率変数と連続関数の合成関数は確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)および確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(Y\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は\(Y\)上において連続関数であるものとします。
確率変数\(X\)の値域が関数\(f\)の定義域の部分集合である場合には、つまり、\begin{equation*}X\left( \Omega \right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
f\circ X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(\omega \in\Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( f\circ X\right) \left( \omega \right) =f\left( X\left( \omega \right)
\right)
\end{equation*}を値として定めます。
以上の状況において、合成関数\(f\circ X\)もまた確率変数になることが保証されます。確率変数と連続関数の合成関数は確率変数になるということです。
\sin \left( X\left( \omega \right) \right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。正弦関数は連続であるため、先の命題より\(\sin \left( X\left( \omega \right) \right) \)は確率変数です。
\cos \left( X\left( \omega \right) \right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。余弦関数は連続であるため、先の命題より\(\cos \left( X\left( \omega \right) \right) \)は確率変数です。
e^{X\left( \omega \right) }:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。指数関数は連続であるため、先の命題より\(e^{X\left( \omega \right) }\)は確率変数です。
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
\ln \left( X\left( \omega \right) \right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。対数関数は連続であるため、先の命題より\(\ln\left( X\left( \omega \right) \right) \)は確率変数です。
演習問題
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)がボレル可測関数であることを示してください。
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