同時確率変数の定義

同時確率変数を導入する動機

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)は確率空間の公理を満たすものとして定義されているため、その要素である\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)は可測空間としての以下の性質\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathcal{F}\subset 2^{\Omega } \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{F}\not=\phi \\
&&\left( c\right) \ \forall A\in \mathcal{F}:A^{c}\in \mathcal{F} \\
&&\left( d\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \in \mathcal{F}:\bigcup_{n\in \mathbb{N} }A_{n}\in \mathcal{F}
\end{eqnarray*}を満たす必要があります。つまり、事象空間\(\mathcal{F}\)は標本空間\(\Omega \)の部分集合を要素としてもつ\(\sigma \)-代数です。標本空間\(\Omega \)が非可算集合である場合などを考慮すると、標本空間\(\Omega \)のすべての部分集合を事象として扱うことはできず、以上の性質を満たす事象空間\(\mathcal{F}\)に属する事象だけが確率の測定対象となります。

さて、「コインを1回投げる」という試行の標本空間が、\begin{equation*}
\Omega =\left\{ \text{表},\text{裏}\right\}
\end{equation*}であるように、試行において起こり得る標本点は数値であるとは限りません。確率に関して定量的な分析を行うためには、それぞれの標本点を数値として表現できれば何かと便利です。そこで、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、実数\(X\left( \omega \right) \in \mathbb{R} \)を1つずつ定める確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}という概念を導入しました。

確率変数を利用すれば標本点が持つ特定の属性を数値化できます。ただ、確率変数はそれぞれの標本点に対して実数を1つずつ定めるルールであるため、標本点が持つ複数の属性を同時に扱うことはできません。標本点が持つ複数の属性の関係性を分析するためには複数の確率変数を同時に扱う必要があります。まずは、2つの確率変数を同時に扱う方法について解説します。

同時確率変数の定義

標本空間\(\Omega \)と事象空間\(\mathcal{F}\)からなる可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)と、実数空間\(\mathbb{R} \)と実数空間上のボレル集合族\(\mathcal{B}\)からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)に加えて、2つの写像\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、もとの可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実を、もう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\right) \)上の標本点である実数\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \\
Y\left( \omega \right) &\in &\mathbb{R} \end{eqnarray*}に変換してそれぞれ表現するということです。

以上の状況を想定した場合、事象空間\(\mathcal{F}\)と標本空間\(\Omega \)からなる可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)から、平面\(\mathbb{R} ^{2}\)と平面上のボレル集合族\(\mathcal{B}^{2}\)からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)へのベクトル値写像\begin{equation*}\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において標本点\(\omega \in \Omega \)が実現した場合、その事実を、もう一方の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)上の標本点であるベクトル\begin{equation*}\left( X,Y\right) \left( \omega \right) =\left( X\left( \omega \right)
,X\left( \omega \right) \right) \in \mathbb{R} ^{2}
\end{equation*}に変換して表現するということです。

変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)において可測な事象、すなわちボレル集合\(A\times B\in \mathcal{B}^{2}\)を任意に選びます。もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)においてこの事象\(A\times B\)に対応する事象は、写像\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)のもとでの実現値\(\left(X\left( \omega \right) ,X\left( \omega \right) \right) \)がその事象\(A\times B\)に属するという事象、すなわち写像\(\left( X,Y\right) \)のもとでの集合\(A\times B\)の逆像\begin{eqnarray*}\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times B\right) &=&\left\{ \omega \in \Omega
\ |\ \left( X\left( \omega \right) ,X\left( \omega \right) \right) \in
A\times B\right\} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\wedge Y\left(
\omega \right) \in B\right\} \\
&=&\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X\left( \omega \right) \in A\right\} \cap
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ Y\left( \omega \right) \in B\right\} \\
&=&X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left( B\right)
\end{eqnarray*}に他なりません。したがって、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)において可測な事象\(A\times B\)が与えられたとき、もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)においてこの事象\(A\times B\)に対応する事象が可測であるためには、以下の条件\begin{equation*}\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が満たされている必要があります。

以上を踏まえた上で、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)において可測な事象\(A\times B\in \mathcal{B}^{2}\)を任意に選んだ場合、もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)においてこの事象\(A\times B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall A\times B\in \mathcal{B}^{2}:\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall A\times B\in \mathcal{B}^{2}:X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left(
B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つ場合には、この写像\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を同時確率変数（joint random variable）と呼びます。またこのとき、\(\left(X,Y\right) \)は\(\mathcal{F}\)-可測（\(\mathcal{F}\)-measurable）であると言います。

同時確率変数であるための必要十分条件

変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)を構成する事象空間、すなわちボレル集合族\(\mathcal{B}^{2}\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}^{2}\right) =\mathcal{B}^{2}
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
\mathcal{B}^{2}\subset 2^{\mathbb{R} ^{2}}
\end{equation*}が成り立つため、\(\mathcal{B}^{2}\)を生成する\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族が存在することが明らかになりました。

以上を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathcal{B}^{2}\)を生成する\(\mathbb{R} ^{2}\)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} ^{2}}\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}^{2}
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}^{2}\)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。その上で、この集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(A\times B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、もとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)においてその逆像が可測であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall A\times B\in \mathcal{A}:\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall A\times B\in \mathcal{A}:X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left(
B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことは、写像\(\left( X,Y\right):\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が同時確率変数であるための必要十分条件になります。

確率変数から定義されるベクトル写像は同時確率変数

2つの写像\(X,Y\)がともに確率変数である場合、それらから定義されるベクトル値写像\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数になることが保証されます。

ベクトル値写像が生成するσ-代数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)が与えられたとき、それに対して以下の条件\begin{equation*}\forall A\times B\in \mathcal{B}^{2}:\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}を満たす写像\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)を同時確率変数と定義しました。さらに、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}^{2}
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\mathbb{R} ^{2}}\)について、\begin{equation*}\forall A\times B\in \mathcal{A}:\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \in \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことは、\(\left( X,Y\right) \)が同時確率変数であるための必要十分条件であることを示しました。いずれにせよ、与えられた写像\(\left( X,Y\right) \)が以上の条件を満たすことを確認するのは面倒です。そこで、可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)を構成する事象空間\(\mathcal{F}\)を別の\(\sigma \)-代数へ代替することにより、写像\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が必ず同時確率変数になる形へ舞台を整えます。順番に考えます。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) ,\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)に加えて写像\(\left( X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられているものとします。その上で、以下のような\(\Omega \)の部分集合族\begin{eqnarray*}\sigma \left( \left( X,Y\right) \right) &=&\left\{ C\in 2^{\Omega }\ |\
\exists A\times B\in \mathcal{B}^{2}:C=\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \right\} \\
&=&\left\{ \left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times B\right) \in 2^{\Omega }\
|\ A\times B\in \mathcal{B}^{2}\right\} \\
&=&\left\{ X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left( B\right) \in 2^{\Omega }\
|\ A\times B\in \mathcal{B}^{2}\right\}
\end{eqnarray*}を定義し、これを写像\(\left( X,Y\right) \)が生成する\(\sigma \)-代数（\(\sigma \)-algebra generated by \(\left( X,Y\right) \)）と呼びます。集合\(C\in 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}C\in \sigma \left( \left( X,Y\right) \right) \Leftrightarrow \exists A\times
B\in \mathcal{B}^{2}:C=\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times B\right) \quad
\because \left( \left( X,Y\right) \right) \text{の定義}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)上に存在する何らかの可測事象\(A\times B\)の逆像をすべて集めることにより得られる事象族が\(\sigma \left( \left( X,Y\right)\right) \)です。

その名の通り、\(\sigma \left(\left( X,Y\right) \right) \)は\(\sigma \)-代数であるため、可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)の事象空間を\(\mathcal{F}\)から\(\sigma \left( \left( X,Y\right) \right) \)へ変更して\(\left( \Omega ,\sigma \left( \left(X,Y\right) \right) \right) \)としても可測空間の公理に抵触しません。加えて、可測空間を\(\mathcal{F}\)から\(\sigma \left(\left( X,Y\right) \right) \)へと変更することにより、写像\(\left(X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)は同時確率変数になります。つまり、\begin{equation*}\forall A\times B\in \mathcal{B}^{2}:\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \in \sigma \left( \left( X,Y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。しかも、\(\sigma\left( \left( X,Y\right) \right) \)は写像\(\left( X,Y\right) \)を同時確率変数にする最小の\(\sigma \)-代数です。つまり、以下の条件\begin{equation*}\forall A\times B\in \mathcal{B}^{2}:\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times
B\right) \in \mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}を満たす\(\sigma \)-代数\(\mathcal{F}_{\lambda }\subset 2^{\Omega }\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\sigma \left( \left( X,Y\right) \right) \subset \mathcal{F}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。

写像が同時確率変数であるための必要十分条件を踏まえると、写像が生成する\(\sigma \)-代数を以下のように表現できます。

2つの写像\(X,Y:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれ生成する\(\sigma \)-代数は、\begin{eqnarray*}\sigma \left( X\right) &=&\left\{ X^{-1}\left( A\right) \in 2^{\Omega }\ |\
A\in \mathcal{B}\right\} \\
\sigma \left( Y\right) &=&\left\{ Y^{-1}\left( B\right) \in 2^{\Omega }\ |\
B\in \mathcal{B}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これらの和集合\begin{equation*}
\sigma \left( X\right) \cup \sigma \left( Y\right)
\end{equation*}をとった上で、そこから\(\sigma \)-代数\begin{equation*}\sigma \left( \sigma \left( X\right) \cup \sigma \left( Y\right) \right)
\end{equation*}を生成すると、これはベクトル値写像\(\left(X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が生成する\(\sigma \)-代数と一致することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\sigma \left( \left( X,Y\right) \right) =\sigma \left( \sigma \left(
X\right) \cup \sigma \left( Y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つということです。

同時確率変数の同時分布

確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)が与えられているものとします。可測空間である\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)から\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)への写像\(\left(X,Y\right) :\Omega \rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)が与えられたとき、変換前の可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)を\(\left( \Omega ,\sigma \left( \left(X,Y\right) \right) \right) \)へ制限すれば\(\left( X,Y\right) \)は同時確率変数になるため、可測事象\(A\times B\in \mathcal{B}^{2}\)を任意に選んだとき、その逆像がもとの可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)において可測であること、すなわち、\begin{equation*}\left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times B\right) =X^{-1}\left( A\right) \cap
Y^{-1}\left( B\right) \in \sigma \left( \left( X,Y\right) \right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。したがって、確率測度\(P:\sigma \left(\left( X,Y\right) \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はこの逆像が起こる確率\begin{equation*}P\left( \left( X,Y\right) ^{-1}\left( A\times B\right) \right) =P\left(
X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left( B\right) \right) \in \mathbb{R} \end{equation*}を常に特定します。これを、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が\(A\times B\)に属する確率として採用し、\begin{eqnarray*}P\left( \left( X,Y\right) \in A\times B\right) &=&P\left( \left( X,Y\right)
^{-1}\left( A\times B\right) \right) \\
&=&P\left( X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left( B\right) \right)
\end{eqnarray*}で表記します。

このような事情を踏まえると、それぞれの可測事象\(A\times B\in \mathcal{B}^{2}\)に対して、同時確率変数\(\left( X,Y\right) \)の値が\(A\times B\)に属する確率\begin{eqnarray*}\mu \left( A\times B\right) &=&P\left( \left( X,Y\right) \in A\times
B\right) \\
&=&P\left( X^{-1}\left( A\right) \cap Y^{-1}\left( B\right) \right)
\end{eqnarray*}を特定する写像\begin{equation*}
\mu :\mathcal{B}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを同時確率変数\(\left( X,Y\right)\)の同時分布（joint distribution）と呼びます。

同時確率変数\(\left( X,Y\right) :\Omega\rightarrow \mathbb{R} ^{2}\)からその同時分布\(\mu :\mathcal{B}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)を定義したとき、これは変換後の可測空間\(\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2}\right) \)における確率測度になります。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall A\times B\in \mathcal{B}^{2}:\mu \left( A\times
B\right) \geq 0 \\
&&\left( b\right) \ P\left( \Omega \right) =1 \\
&&\left( c\right) \ \forall \text{排反な}A_{1}\times
B_{1},A_{2}\times B_{2},\cdots \in \mathcal{B}^{2}:\mu \left( \bigcup_{i\in \mathbb{N} }\left( A_{i}\times B_{i}\right) \right) =\sum_{i\in \mathbb{N} }\mu \left( A_{i}\times B_{i}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つということです。したがって、\begin{equation*}
\left( \mathbb{R} ^{2},\mathcal{B}^{2},\mu \right)
\end{equation*}は確率空間になります。