末尾事象の定義
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて、標本空間\(\Omega \)を定義域として共有する確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられているものとします。つまり、この確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の一般項は\(\Omega \)上に定義された確率変数\begin{equation*}X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族を\(\mathcal{B}\)で表記します。確率変数\(X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)が生成する\(\sigma \)-代数は、\begin{eqnarray*}\sigma \left( X_{n}\right) &=&\left\{ A\in \mathcal{F}\ |\ \exists B\in
\mathcal{B}:A=X^{-1}\left( B\right) \right\} \\
&=&\left\{ X^{-1}\left( B\right) \in \mathcal{F}\ |\ B\in \mathcal{B}\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは\(X_{n}\)を可測にする最小の\(\sigma \)-代数です。
自然数\(m\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、先の確率変数\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である\(m\)番目以降のすべての確率変数\begin{equation*}X_{m},X_{m+1},\cdots
\end{equation*}に注目します。これらの確率変数が生成する\(\sigma \)-代数は、\begin{equation*}\sigma \left( X_{m}\right) ,\sigma \left( X_{m+1}\right) ,\cdots
\end{equation*}ですが、これらはいずれも\(\mathcal{F}\)の部分集合であるため、これらの事象族\(\sigma \left( X_{m}\right) ,\sigma \left(X_{m+1}\right) ,\cdots \)を部分集合として含むとともに\(\mathcal{F}\)の部分集合であるような\(\sigma \)-代数が存在することが保証されます。そこで、そのような\(\sigma \)-代数をすべて集めてできる集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\not=\phi \\
&&\left( b\right) \ \forall A\in \mathfrak{A}_{\lambda }:A^{c}\in \mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( c\right) \ \forall A_{1},A_{2},\cdots \subset \mathfrak{A}_{\lambda
}\text{について}\bigcup\limits_{i\in \mathbb{N} }A_{i}\in \mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( d\right) \ \sigma \left( X_{m}\right) ,\sigma \left( X_{m+1}\right)
,\cdots \subset \mathfrak{A}_{\lambda }\subset \mathcal{F}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)から\(\left( c\right) \)は\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)が\(\sigma \)-代数であることを意味し、\(\left( d\right) \)は\(\mathfrak{A}_{\lambda }\)が事象族\(\sigma \left( X_{m}\right),\sigma \left( X_{m+1}\right) ,\cdots \)を部分集合として持つ\(\mathcal{F}\)の部分集合であることを意味します。その上で、この集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分\begin{equation*}\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) =\bigcap\limits_{\lambda \in
\Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}をとり、これを確率変数\(X_{m},X_{m+1},\cdots \)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（smalleset \(\sigma \)-algebra induced by \(X_{m},X_{m+1},\cdots \)）と呼びます。
その名の通り、この事象族\(\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \)は事象族\(\sigma \left( X_{m}\right) ,\sigma \left(X_{m+1}\right) ,\cdots \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。つまり、これはすべての確率変数\(X_{m},X_{m+1},\cdots \)を可測にする最小の\(\sigma \)-代数です。
\Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\sigma \left(X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left(
X_{m},X_{m+1},\cdots \right) =\mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\sigma \left(
X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}が成り立つ。
事象族\(\sigma \left( X_{m}\right) ,\sigma \left(X_{m+1}\right) ,\cdots \subset \mathcal{F}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数を、\begin{equation*}\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) =\bigcap\limits_{\lambda \in
\Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義しました。上の命題より、\begin{equation*}
\exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) =\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。また、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\begin{equation*}
\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。つまり、\(\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \)の要素はいずれも可測な事象です。
可算個の確率変数\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が与えられれば、それぞれの自然数\(m\in \mathbb{N} \)に対して、確率変数\(X_{m},X_{m+1},\cdots \)が生成する最小の\(\sigma \)-代数を先の要領で生成できるため、それらの列\begin{gather*}\sigma \left( X_{1},X_{2},\cdots \right) \\
\sigma \left( X_{2},X_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}すなわち、\begin{equation*}
\left\{ \sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \right\} _{m\in \mathbb{N} }
\end{equation*}が得られます。その上で、これらの共通部分\begin{equation*}
\mathcal{T}\left( \left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) =\bigcap\limits_{m\in \mathbb{N} }\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right)
\end{equation*}をとり、これを確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象族（family of tail events）や末尾\(\sigma \)-代数（tail \(\sigma \)-algebra）や末尾\(\sigma \)-加法族（tail additive field）などと呼びます。先の議論より、\begin{equation*}
\forall m\in \mathbb{N} :\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\bigcap\limits_{m\in \mathbb{N} }\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathcal{T}\left( \left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) \subset \mathcal{F}
\end{equation*}を得ます。つまり、末尾事象族の要素はいずれも可測な事象です。以降では必要に応じて、確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象族をシンプルに、\begin{equation*}\mathcal{T}
\end{equation*}で表記します。
末尾事象族\(\mathcal{T}\left( \left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) \)の要素を末尾事象（tail event）と呼びます。集合\(A\subset \Omega \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathcal{T}\left( \left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) &\Leftrightarrow &A\in \bigcap\limits_{m\in \mathbb{N} }\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \quad \because \text{末尾事象族の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall m\in \mathbb{N} :A\in \sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、末尾事象\(A\)と自然数\(m\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が\(\sigma \left( X_{m},X_{m+1},\cdots \right) \)の要素になることが保証されます。つまり、任意の末尾事象は、\begin{gather*}A\in \sigma \left( X_{1},X_{2},\cdots \right) \\
A\in \sigma \left( X_{2},X_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}を満たすということです。
\end{equation*}が有限な実数に収束するという事象は、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と表現されますが、この事象はもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象です（演習問題）。
以上が末尾事象の定義です。では、ある事象が確率変数列の末尾事象であることは何を意味するのでしょうか。末尾事象を定義するもととなる確率変数列が独立である場合、その意味が明確になります。順番に解説します。
独立な確率変数列の末尾事象
確率変数列が独立である場合、その末尾事象族は、その確率変数列に属する個々の確率変数が生成する\(\sigma \)-代数とは独立になります。
A\right)
\end{equation*}が成り立つ。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象\(A\in \mathcal{T}\left( \left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) \)を任意に選びます。末尾事象の定義より、\begin{gather*}A\in \sigma \left( X_{1},X_{2},\cdots \right) \\
A\in \sigma \left( X_{2},X_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}が成り立ちますが、以上の事実は、末尾事象\(A\)の起こりやすさは確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)に属する無限個の確率変数の分布と密接な関係があることを意味します。その一方で、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である個々の確率変数\(X_{m}\)に注目した場合、上の命題より、この確率変数\(X_{m}\)の分布は末尾事象\(A\)の起こりやすさに影響を与えません。
\end{equation*}が有限な実数に収束するという事象は、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と表現されますが、先に示したように、この事象はもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象です。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が独立である場合、上の命題より、特定の確率変数\(X_{m}\)の分布を入れ替えても、この末尾事象の確率は変化しません。
確率変数列が独立である場合、その確率変数列の任意の末尾事象は、その確率変数列に属する有限個の確率変数が生成する\(\sigma \)-代数とは独立になります。
\forall B\in \mathcal{T}\left( \left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) :P\left( A\cap B\right) =P\left( A\right) \cdot P\left( B\right)
\end{equation*}が成り立つ。
確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象\(A\in \mathcal{T}\left( \left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\right) \)を任意に選びます。末尾事象の定義より、\begin{gather*}A\in \sigma \left( X_{1},X_{2},\cdots \right) \\
A\in \sigma \left( X_{2},X_{3},\cdots \right) \\
\vdots
\end{gather*}が成り立ちますが、以上の事実は、末尾事象\(A\)の起こりやすさは確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\}_{n\in \mathbb{N} }\)に属する無限個の確率変数の分布と密接な関係があることを意味します。その一方で、確率変数列\(\left\{X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の要素である有限個の確率変数\(X_{n_{1}},X_{n_{2}},\cdots,X_{n_{m}}\)に注目した場合、上の命題より、これらの確率変数の分布は末尾事象\(A\)の起こりやすさに影響を与えません。
\end{equation*}が有限な実数に収束するという事象は、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と表現されますが、先に示したように、この事象はもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象です。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が独立である場合、上の命題より、有限個の確率変数\(X_{n_{1}},X_{n_{2}},\cdots,X_{n_{m}}\)の分布を入れ替えても、この末尾事象の確率は変化しません。
コルモゴロフの0-1法則
独立な確率変数列の末尾事象の確率は\(0\)または\(1\)のどちらか一方であることが保証されます。これをコルモゴロフの0-1法則（Kolmogorov’s Zero-One Law）と呼びます。
コルモゴロフの0-1の法則は、独立な確率変数列の末尾事象の確率が必ず\(0\)または\(1\)のどちらか一方に定まるという主張であり、与えられた末尾事象の確率が\(0\)と\(1\)のどちらであるか判定する基準までは与えてくれていません。
\end{equation*}が有限な実数に収束するという事象は、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と表現されますが、先に示したように、この事象はもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象です。確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が独立である場合、上の命題より、この末尾事象の確率は\(0\)または\(1\)のどちらか一方です。
演習問題
\end{equation*}が有限な実数に収束するという事象は、\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \lim_{N\rightarrow \infty
}\sum_{n=1}^{N}X_{n}\left( \omega \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}と表現されますが、この事象がもとの確率変数列\(\left\{ X_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の末尾事象であることを示してください。
X_{1}\right) \cup \sigma \left( X_{2}\right) \cup \cdots \right)
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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