確率変数の定数倍は確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( kX\right) \left( \omega \right) =kX\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
kX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまた確率変数になることが保証されます。
命題（確率変数の定数倍は確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(kX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(kX\)もまた確率変数である。
例（確率変数の定数倍は確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。以下の写像\begin{equation*}-X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}は確率変数\(X\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-X\)もまた確率変数です。
拡大実数値確率変数の定数倍は拡大実数値確率変数
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて拡大実数値確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( kX\right) \left( \omega \right) =kX\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
kX:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。
命題（拡大実数値確率変数の定数倍は拡大実数値確率変数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて拡大実数値確率変数\(X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(kX:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義する。\(kX\)もまた拡大実数値確率変数である。
例（拡大実数値確率変数の定数倍は拡大実数値確率変数）
可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて拡大実数値確率変数\(X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。以下の写像\begin{equation*}-X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は確率変数\(X\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-X\)もまた拡大実数値確率変数です。
演習問題
問題（確率変数の定数倍）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(kX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義するとこれもまた確率変数になりますが、本文中ではこれを確率変数の定義にもとづいて証明しました。同じことを、「確率変数とボレル集合上に定義された連続関数の合成関数は確率変数になる」という事実を用いて証明してください。
問題（確率変数の定数倍）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。それぞれの\(\omega \in \Omega \)に対して、\begin{equation*}\frac{\sin \left( X\right) }{2}\left( \omega \right) =\frac{\sin \left(
X\left( \omega \right) \right) }{2}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\frac{\sin \left( X\right) }{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この写像もまた確率変数でしょうか。議論してください。
問題（確率変数の定数倍が生成するσ-代数）
確率空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F},P\right) \)に加えて確率変数\(X:\Omega\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で写像\(kX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すれば、これもまた確率変数になります。では、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( kX\right) =\sigma \left( X\right)
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。議論してください。
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