確率変数の定数倍は確率変数
可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( kX\right) \left( \omega \right) =kX\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
kX:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能ですが、これもまた確率変数になることが保証されます。
拡大実数値確率変数の定数倍は拡大実数値確率変数
可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて拡大実数値確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。
実数\(k\in \mathbb{R} \)を任意に選べば、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( kX\right) \left( \omega \right) =kX\left( \omega \right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
kX:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。
\end{equation*}は確率変数\(X\)の定数倍（\(-1\)倍）であるため、先の命題より\(-X\)もまた拡大実数値確率変数です。
演習問題
X\left( \omega \right) \right) }{2}
\end{equation*}を定める写像\begin{equation*}
\frac{\sin \left( X\right) }{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。この写像もまた確率変数でしょうか。議論してください。
\end{equation*}は常に成り立つでしょうか。議論してください。
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