確率変数どうしの積は確率変数

確率変数の積は確率変数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。すると、標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}X^{2}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
X^{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
Y &:&\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。すると、標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( XY\right) \left( \omega \right) =X\left( \omega \right) \cdot Y\left(
\omega \right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
XY:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

拡大実数値確率変数の積は拡大実数値確率変数

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて拡大実数値確率変数\begin{equation*}X:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。すると、標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}X^{2}\left( \omega \right) =\left[ X\left( \omega \right) \right] ^{2}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
X^{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。

可測空間\(\left( \Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて2つの拡大実数値確率変数\begin{eqnarray*}X &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
Y &:&\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}
\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) \cdot Y\left( \omega
\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( XY\right) \left( \omega \right) =X\left( \omega \right) \cdot Y\left(
\omega \right)
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
XY:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、以上の条件のもとでは\(XY\)もまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。

先の命題では2つの拡大実数値確率変数\(X,Y:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) Y\left( \omega \right) \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists \omega \in \Omega :X\left( \omega \right) Y\left( \omega \right)
\not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも写像\(XY:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義不可能であるため、\(XY\)が拡大実数値確率変数であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの標本点\(\omega \in \Omega \)のもとで、\begin{eqnarray*}X\left( \omega \right) &=&+\infty \\
Y\left( \omega \right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、これらの積\begin{equation*}
X\left( \omega \right) \cdot Y\left( \omega \right) =\left( +\infty \right)
\cdot 0
\end{equation*}は不定形になってしまうため、この場合、写像\(XY:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(XY\)は拡大実数値確率変数ではありません。

演習問題