確率変数どうしの上限と下限は確率変数

可算個の確率変数の上限は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて可算個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。加えて、これらの確率変数はいずれも上に有界であるものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んだ上で固定し、それぞれの確率変数の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}をとります。すべての確率変数が上に有界である状況を想定しているため、これは非空かつ上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

まずは以下の補題を示します。

上の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) <x\right\} =\bigcap\limits_{n\in \mathbb{N} }\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{n}\left( \omega \right) <x\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) <x\Leftrightarrow \forall n\in \mathbb{N} :X_{n}\left( \omega \right) <x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、写像\(\sup\limits_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\)の実現値が\(x\)より小さいことと、すべての確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)の実現値が\(x\)より小さいことは必要十分です。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が上に有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて可算個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。先とは異なり、これらの確率変数は上に有界であるとは限らない状況を想定します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んだ上で固定し、それぞれの確率変数の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり\(X_{1},X_{2},\cdots \)は上に有界であるとは限らないため、これは上に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、上限が正の無限大になり得るということです。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。ただし、\(\overline{\mathbb{R} }\)は拡大実数系です。この写像は拡大実数値確率変数になります。証明は先の命題と同様です。

確率変数族の下限は確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて可算個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。加えて、これらの確率変数はいずれも下に有界であるものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んだ上で固定し、それぞれの確率変数の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}をとります。すべての確率変数が下に有界である状況を想定しているため、これは非空かつ下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の実数\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまた確率変数になることが保証されます。

まずは以下の補題を示します。

上の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\left\{ \omega \in \Omega \ |\ \left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) <x\right\} =\bigcup\limits_{n\in \mathbb{N} }\left\{ \omega \in \Omega \ |\ X_{n}\left( \omega \right) <x\right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、標本点\(\omega \in \Omega \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) <x\Leftrightarrow \exists n\in \mathbb{N} :X_{n}\left( \omega \right) <x
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、写像\(\inf\limits_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\)の実現値が\(x\)より小さいことと、少なくとも1つの確率変数\(X_{n}\)の実現値が\(x\)より小さいことは必要十分です。

以上の補題を踏まえた上で以下を示します。

確率変数\(X_{1},X_{2},\cdots \)が下に有界であるとは限らない場合にも同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて可算個の確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。先とは異なり、これらの確率変数は下に有界であるとは限らない状況を想定します。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んだ上で固定し、それぞれの確率変数の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}をとります。先とは異なり\(X_{1},X_{2},\cdots \)は下に有界であるとは限らないため、これは下に有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとは限らず、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が1つの実数として定まるとは限りません。つまり、下限が負の無限大になり得るということです。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できます。ただし、\(\overline{\mathbb{R} }\)は拡大実数系です。この写像は拡大実数値確率変数になります。証明は先の命題と同様です。

可算個の拡大実数値確率変数の上限は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて可算個の拡大実数値確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んだ上で固定し、それぞれの拡大実数値確率変数の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その上限\begin{equation*}\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\sup \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\sup_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。

可算個の拡大実数値確率変数の下限は拡大実数値確率変数

標本空間と事象空間からなる可測空間\(\left(\Omega ,\mathcal{F}\right) \)に加えて可算個の拡大実数値確率変数\begin{gather*}X_{1}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
X_{2}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots
\end{gather*}が与えられているものとします。

標本点\(\omega \in \Omega \)を選んだ上で固定し、それぞれの拡大実数値確率変数の実現値からなる集合\begin{equation*}\left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}をとります。これは非空な\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合であり、したがって、その下限\begin{equation*}\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right) ,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots
\right\}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることが保証されます。

このような事情を踏まえると、それぞれの標本点\(\omega \in \Omega \)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}\right) \left( \omega \right) =\inf \left\{ X_{1}\left( \omega \right)
,X_{2}\left( \omega \right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\inf_{n\in \mathbb{N} }X_{n}:\Omega \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値確率変数になることが保証されます。証明は先の命題と同様です。