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無限級数(収束級数・発散級数)

目次

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無限級数

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)とは無限個の実数を順番に並べたもの\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}ですが、この無限個の実数を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}を数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数(infinite series)や級数(series)、または無限和(infinite sum)などと呼びます。無限級数をシンプルに\(\sum x_{n}\)と表記することもできます。

例(無限級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }n\quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+2+3+\cdots
\end{eqnarray*}です。

例(無限級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}\quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots
\end{eqnarray*}です。

例(無限級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -1\right) ^{n}\quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -1\right) +1+\left( -1\right) +\cdots
\end{eqnarray*}です。

 

収束する無限級数(無限級数の和)

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)は無限個の実数からなる並び\begin{equation*}x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},\cdots
\end{equation*}であるため、無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}は無限個の実数の和です。ただ、「実数を無限回加える」という操作を実際に行うことはできないため、無限級数の値を特定するためには何らかの工夫が必要です。順番に解説します。

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、番号\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選ぶと、この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項\(x_{1}\)から第\(n\)項\(x_{n}\)までの和をとることができるため、それを、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v} \\
&=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}
\end{eqnarray*}で表記し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の\(n\)部分和(\(n\) th partial sum)と呼びます。「実数を無限回加える」ことは不可能である一方で、どれほど大きい番号\(n\)を選んだ場合でも\(n\)は有限であるため、「実数を有限\(n\)回加える」という操作は可能です。したがって、任意の番号\(n\)について部分和\(s_{n}\)がそれぞれ1つの実数として定まることが保証されます。このような事情を踏まえると、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、その第\(n\)部分和\(s_{n}\)を一般項とする新たな数列\begin{equation*}\left\{ s_{n}\right\}
\end{equation*}が定義可能です。つまり、この数列\(\left\{s_{n}\right\} \)の各項は、\begin{eqnarray*}s_{1} &=&x_{1} \\
s_{2} &=&x_{1}+x_{2} \\
s_{3} &=&x_{1}+x_{2}+x_{3} \\
&&\vdots
\end{eqnarray*}となります。以上のように定義される数列\(\left\{ s_{n}\right\} \)を、もとの数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列(sequence of partial sums)と呼びます。

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}は無限個の実数の和であるため、これを直接求めることはできません。一方、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}s_{n}=\sum_{v=1}^{n}x_{v}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}
\end{equation*}であり、これは有限個の実数の和であるため、有限な実数として定まります。つまり、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)は数列であるため、これが有限な実数へ収束するか検討できます。そこで、\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には、この極限を無限級数\(\sum x_{n}\)の値として採用します。つまり、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合には、無限級数\(\sum x_{n}\)の値を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}を満たすものとして定義するということです。\(\left\{ s_{n}\right\} \)の定義より、これを、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }\left(
\sum_{v=1}^{n}x_{v}\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}と表現することもできます。いずれにせよ、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束する場合、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束する(converge)といい、その場合の無限級数\(\sum x_{n}\)の値、すなわち極限\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty }s_{n}\)のことを無限級数\(\sum x_{n}\)の(sum)と呼びます。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合、もとの数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は総和可能(summable)であると言います。

例(無限級数の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\frac{1}{n\left( n+1\right) }
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\left( n+1\right)
}\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] \quad \because
\left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \quad \because
\frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}=\frac{1}{v\left( v+1\right) } \\
&=&\left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left( \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1-\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1-0 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=1
\end{equation*}であることが明らかになりました。

例(無限級数の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=0
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }0\quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0+0+0+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}0\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=0
\end{equation*}であることが明らかになりました。

 

発散する無限級数

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとは限りません。つまり、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)は有限な実数へ収束するとは限りません。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束しない場合、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散する(diverge)と言います。特に、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が正の無限大へ発散する場合には、無限級数\(\sum x_{n}\)は正の無限大へ発散するものと定め、そのことを、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}で表記します。また、部分和の列\(\left\{ s_{n}\right\} \)が負の無限大へ発散する場合には、無限級数\(\sum x_{n}\)は負の無限大へ発散するものと定め、そのことを、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=-\infty
\end{equation*}で表記します。

例(発散する無限級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }n\quad \because \left\{
x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+2+3+\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}v\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&1+2+3+\cdots +n \\
&=&\frac{n\left( n+1\right) }{2}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n\left(
n+1\right) }{2} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散するとともに、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。

例(発散する無限級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-n
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -n\right) \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -1\right) +\left( -2\right) +\left( -3\right) +\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}v\quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -1\right) +\left( -2\right) +\left( -3\right) +\cdots +\left(
-n\right) \\
&=&-\left( 1+2+3+\cdots +n\right) \\
&=&-\frac{n\left( n+1\right) }{2}
\end{eqnarray*}であるため、その極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ -\frac{n\left( n+1\right) }{2}\right] \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となります。したがって、無限級数\(\sum x_{n}\)は発散するとともに、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=-\infty
\end{equation*}であることが明らかになりました。

例(発散する無限級数)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( -1\right) ^{n}
\end{equation*}で与えられているものとします。この数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left( -n\right) \quad
\because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left( -1\right) +1+\left( -1\right) +\cdots
\end{eqnarray*}ですが、この無限級数は収束するでしょうか。部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}\quad \because s_{n}\text{の定義} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}\left( -1\right) ^{v}\quad \because \left\{ x_{n}\right\}
\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\left\{ s_{n}\right\} =\left\{ -1,1,-1,1,\cdots \right\}
\end{equation*}となります。つまり、\(\left\{ s_{n}\right\} \)は振動するため有限な実数へ収束せず、したがって無限級数\(\sum x_{n}\)は発散することが明らかになりました。

 

演習問題

問題(無限級数の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}
\end{equation*}と表されるものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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問題(無限級数の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、非ゼロの定数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を用いて、\begin{equation*}x_{n}=c
\end{equation*}と表されるものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。議論してください。
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