絶対収束級数と比較判定法

絶対収束級数と比較判定法

無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束級数であることとは、この級数の絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が収束することとして定義されます。絶対収束級数は収束するとともに、絶対収束級数\(\sum x_{n}\)とその絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)の和の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\right\vert \leq \sum_{n=1}^{\infty
}\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

以上を踏まえると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示す代わりに、それが絶対収束級数であることを示してもよいということになります。つまり、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)が収束することを示せば、もとの級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示したことになります。さらに、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)は正項級数であるため、その収束可能性を判定する際に、正項級数を対象とした収束判定法を活用できます。

正項級数を対象とした収束判定の1つが比較判定法です。つまり、数列\(\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{y_{n}\right\} \)が以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}を満たす場合には、無限級数\(\sum x_{n},\sum y_{n}\)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}\text{は収束する}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( b\right) \ \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }y_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left(a\right) \)に注目すると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示すためには、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :0\leq x_{n}\leq y_{n}
\end{equation*}を満たすとともに収束する無限級数\(\sum y_{n}\)の具体例を提示すればよいということになります。

以上を踏まえると以下の命題が導かれます。

演習問題