絶対収束級数とコーシー・アダマールの判定法
無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}が絶対収束級数であることとは、この級数の絶対値級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }\left\vert x_{n}\right\vert =\left\vert
x_{1}\right\vert +\left\vert x_{2}\right\vert +\left\vert x_{3}\right\vert
+\cdots
\end{equation*}が収束することとして定義されます。絶対収束級数は収束するとともに、絶対収束級数\(\sum x_{n}\)とその絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)の和の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\right\vert \leq \sum_{n=1}^{\infty
}\left\vert x_{n}\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。
以上を踏まえると、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示す代わりに、それが絶対収束級数であることを示してもよいということになります。つまり、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)が収束することを示せば、もとの級数\(\sum x_{n}\)が収束することを示したことになります。さらに、絶対値級数\(\sum \left\vert x_{n}\right\vert \)は正項級数であるため、その収束可能性を判定する際に、正項級数を対象とした収束判定法を活用できます。
正項級数を対象とした収束判定の1つがコーシー・アダマールの判定法です。つまり、以下の条件\begin{equation*}
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)を任意に選んだ上で、新たな数列\(\left\{ \left( x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\right\} \)を定義し、さらにその極限を、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}と表記する場合、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は収束する} \\
&&\left( A\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
以上を踏まえると以下の命題が導かれます。
\end{equation*}と表記する。このとき、以下の関係\begin{eqnarray*}
&&\left( A\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}\frac{2^{n+1}}{n^{n}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この無限級数のもととなる数列を、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ \left( -1\right) ^{n}\frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で、以下の数列\begin{eqnarray*}
\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} &=&\left\{
\left\vert \left( -1\right) ^{n}\frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ \left( \frac{2^{n+1}}{n^{n}}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{2^{\frac{n+1}{n}}}{n}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n}\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n} \\
&=&\frac{2}{+\infty } \\
&=&0 \\
&<&1
\end{eqnarray*}を満たすため、コーシー・アダマールの判定法より、もとの級数\(\left( 1\right) \)は絶対収束し、したがって収束します。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}\frac{n^{n}}{2^{2n+1}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この無限級数のもととなる数列を、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ \left( -1\right) ^{n}\frac{n^{n}}{2^{2n+1}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で、以下の数列\begin{eqnarray*}
\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} &=&\left\{
\left\vert \left( -1\right) ^{n}\frac{n^{n}}{2^{2n+1}}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ \left( \frac{n^{n}}{2^{2n+1}}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2^{\frac{2n+1}{n}}}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{n}{2^{2+\frac{1}{n}}}\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{n}{2^{2+\frac{1}{n}}} \\
&=&\frac{+\infty }{4} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}を満たすため、コーシー・アダマールの判定法より、もとの級数\(\left( 1\right) \)は発散します。
コーシー・アダマールの判定法が役に立たないケース
無限級数\(\sum x_{n}\)が与えられたとき、数列\(\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の極限\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}=r
\end{equation*}を観察することにより、\(\sum x_{n}\)の絶対収束可能性を判定できることが明らかになりました。具体的には、以下の関係\begin{eqnarray*}&&\left( A\right) \ 0\leq r<1\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は絶対収束する} \\
&&\left( B\right) \ 1<r\leq +\infty \Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\text{は発散する}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。ただ、この判定法は\(r<0\)や\(r=1\)の場合について何も主張していません。したがって、これらの場合には、コーシー・アダマールの判定法から\(\sum x_{n}\)の絶対収束可能性に関して何らかの結論を導くことはできません。順番に考えます。
まずは\(r<0\)の場合について考えます。数列\(\left\{\left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \)の任意の項は非負であるため、その極限\(r\)が負であるような状況はそもそも起こりません。
続いて\(r=1\)の場合ですが、以下の例が示唆するように、この場合には\(\sum x_{n}\)が絶対収束する場合と発散する場合の双方が起こり得るため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。
まずは、\(r=1\)であるとともに無限級数\(\sum x_{n}\)が絶対収束する例を挙げます。
\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この無限級数のもととなる数列を、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}}\right\}
\end{equation*}と表記した上で、以下の数列\begin{eqnarray*}
\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} &=&\left\{
\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ \left( \frac{1}{n^{2}}\right) ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{n^{\frac{2}{n}}}\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\frac{1}{n^{\frac{2}{n}}} \\
&=&\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }n^{\frac{2}{n}}} \\
&=&\frac{1}{\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\exp \left( \frac{2}{n}\ln
\left( n\right) \right) }\quad \because \left( +\infty \right) ^{0}\text{型の不定形を}\frac{0}{0}\text{型へ変換} \\
&=&\frac{1}{\exp \left( \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{n}\ln
\left( n\right) \right) }\quad \because \exp \left( x\right) \text{は連続関数} \\
&=&\frac{1}{\exp \left( \lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\frac{2}{1}\cdot
\frac{1}{n}\right) }\quad \because \text{ロピタルの定理} \\
&=&\frac{1}{\exp \left( 0\right) } \\
&=&\frac{1}{1} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。そこで、比較判定法を利用します。\begin{equation*}
\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{1}}{1^{2}}\right\vert =1
\end{equation*}であるとともに、\(n\geq 2\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert \frac{\left( -1\right) ^{n}}{n^{2}}\right\vert &=&\frac{1}{n^{2}}
\\
&<&\frac{1}{n^{2}-n} \\
&=&\frac{1}{n\left( n-1\right) }
\end{eqnarray*}が成り立つため、以下の無限級数\begin{equation}
1+\sum_{n=2}^{+\infty }\frac{1}{n\left( n-1\right) } \quad \cdots (2)
\end{equation}に注目します。部分和は、\begin{eqnarray*}
s_{n} &=&1+\sum_{v=2}^{n}\frac{1}{v\left( v-1\right) } \\
&=&1+\sum_{v=2}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v-1}\right) \\
&=&1+\left( \frac{1}{2}-1\right) +\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)
+\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right) \\
&=&1+\frac{1}{n}\quad \because \text{相殺}
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }s_{n} &=&\lim_{n\rightarrow +\infty }\left( 1+\frac{1}{n}\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}を得ます。したがって\(\left( 2\right) \)は収束するため、比較判定法より、もとの級数\(\left( 1\right) \)は絶対収束し、ゆえに収束します。
続いて、\(r=1\)であるとともに無限級数\(\sum x_{n}\)が発散する例を挙げます。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられているものとします。この無限級数のもととなる数列を、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ \left( -1\right) ^{n}\right\}
\end{equation*}と表記した上で、以下の数列\begin{eqnarray*}
\left\{ \left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} &=&\left\{
\left\vert -1\right\vert ^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ 1^{\frac{1}{n}}\right\} \\
&=&\left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}を定義します。この数列の極限は、\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow +\infty }\left\vert x_{n}\right\vert ^{\frac{1}{n}}
&=&\lim_{n\rightarrow +\infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、コーシー・アダマールの判定法は役に立ちません。加えて、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)は振動列であるため、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }x_{n}\not=0
\end{equation*}が成り立つため、級数\(\left( 1\right) \)は発散します。
演習問題
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}\left( \frac{n}{n+1}\right)
^{n^{2}}
\end{equation*}は絶対収束する、条件収束する、発散するのどれであるかを検証してください。
\sum_{n=1}^{+\infty }\left( -1\right) ^{n}\left( \frac{n^{2}+3n}{n^{4}+1}\right) ^{n}
\end{equation*}は絶対収束する、条件収束する、発散するのどれであるかを検証してください。
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