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級数

級数の定数倍の収束可能性

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収束級数の定数倍は収束する

数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}c\cdot x_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)が定義可能です。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)もまた収束し、両者の和の間には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot \sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(収束級数の定数倍は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)を定義する。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束するならば無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)もまた収束し、それらの和の間には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot \sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つ。

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つまり、収束する無限級数\(\sum x_{n}\)の定数倍の形をしている無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)が与えられたとき、\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)もまた収束することが保証されるとともに、\(\sum x_{n}\)の和を\(c\)倍すれば\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)の和が得られることを上の命題は保証しています。したがって、何らかの無限級数\(\sum x_{n}\)の定数倍の形をしている無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)の収束可能性を検討する際には、無限級数の収束可能性の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(c\)と\(\sum x_{n}\)を分けた上で、\(\sum x_{n}\)が収束することを確認すればよいということになります。

例(収束級数の定数倍は収束する)
数列\(\left\{ -x_{n}\right\} \)は数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の定数倍(\(-1\)倍)であるため、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束するならば無限級数\(\sum \left( -x_{n}\right) \)もまた収束し、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( -x_{n}\right) =-\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}
\end{equation*}となります。

例(収束級数の定数倍は収束する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{\pi }{n\left( n+1\right) }
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するでしょうか。数列\(\left\{ \frac{1}{n\left(n+1\right) }\right\} \)の部分和の列の極限については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{v=1}^{n}\left[ \frac{1}{v\left( v+1\right) }\right] &=&\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{v=1}^{n}\left( \frac{1}{v}-\frac{1}{v+1}\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \left( 1-\frac{1}{2}\right) +\left(
\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) +\cdots +\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( 1-\frac{1}{n+1}\right) \\
&=&1
\end{eqnarray*}となるため、無限級数\(\sum \frac{1}{n\left( n+1\right) }\)は収束し、その和は、\begin{equation}\sum_{n=1}^{\infty }\left[ \frac{1}{n\left( n+1\right) }\right] =1 \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。したがって、先の命題より無限級数\(\sum x_{n}\)は収束するとともに、その和は、\begin{eqnarray*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} &=&\sum_{n=1}^{\infty }\left[ -\frac{\pi }{n\left(
n+1\right) }\right] \quad \because \left\{ x_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&-\pi \sum_{n=1}^{\infty }\left[ \frac{1}{n\left( n+1\right) }\right] \quad \because \text{収束級数の定数倍} \\
&=&-\pi \cdot 1\quad \because \left( 1\right) \\
&=&-\pi
\end{eqnarray*}となります。

 

発散級数の定数倍は発散する

繰り返しになりますが、数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}c\cdot x_{n}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)が定義可能です。数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum x_{n}\)が発散するとともに\(c\not=0\)である場合には数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の項の無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)もまた発散することが保証されます。

命題(発散級数の定数倍は発散する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と非ゼロの実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{c\cdot x_{n}\right\} \)を定義する。無限級数\(\sum x_{n}\)が発散するならば無限級数\(\sum \left(c\cdot x_{n}\right) \)もまた発散する。
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ちなみに、\(c=0\)の場合に上の命題は成り立ちません。実際、\(c=0\)の場合、数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)の一般項は、\begin{equation*}c\cdot x_{n}=0
\end{equation*}となるため、この場合には無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)は収束するとともに、その和は、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =0
\end{equation*}となるからです。

例(発散級数の定数倍は発散する)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の一般項が、\begin{equation*}x_{n}=-\frac{n}{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。無限級数\(\sum \left( n\right) \)は発散するため、先の命題より、無限級数\(\sum \left( -\frac{n}{2}\right) \)すなわち\(\sum x_{n}\)は発散します。実際、数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の部分和の列の極限は、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\left( \sum_{v=1}^{n}x_{v}\right)
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ \sum_{v=1}^{n}\left( -\frac{v}{2}\right) \right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( -\frac{1}{2}\sum_{v=1}^{n}v\right) \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ -\frac{1}{2}\cdot \frac{n\left(
n+1\right) }{2}\right] \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left[ -\frac{n\left( n+1\right) }{4}\right] \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}であるため、\(\sum x_{n}\)は発散します。

 

演習問題

問題(収束級数の定数倍の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と非ゼロの実数\(c\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\frac{x_{n}}{c}
\end{equation*}を一般項とする新たな数列\(\left\{ \frac{x_{n}}{c}\right\} \)が定義可能です。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束する場合には無限級数\(\sum \frac{x_{n}}{c}\)もまた収束し、両者の和の間に、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( \frac{x_{n}}{c}\right) =\frac{\sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}}{c}
\end{equation*}という関係が成り立つことを証明してください。

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問題(収束級数の定数倍の和)
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから数列\(\left\{ c\cdot x_{n}\right\} \)を定義します。本文中で明らかにしたように、無限級数\(\sum x_{n}\)が収束するならば無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)もまた収束し、それらの和の間には、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot \sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。\(c\not=0\)である場合は、その逆もまた成立することを示してください。つまり、無限級数\(\sum \left( c\cdot x_{n}\right) \)が収束するならば無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束し、それらの和の間に、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }\left( c\cdot x_{n}\right) =c\cdot \sum_{n=1}^{\infty
}x_{n}
\end{equation*}という関係が成り立つことを示してください。

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