級数の項を加える順序
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数とは、\(\left\{ x_{n}\right\} \)の無限個の項を順番通りに加えることで得られる和\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots
\end{equation*}として定義されます。無限級数を、\begin{equation*}
\sum x_{n}
\end{equation*}と表記することもできます。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の初項から第\(n\)項までの和を、\begin{eqnarray*}s_{n} &=&x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n} \\
&=&\sum_{v=1}^{n}x_{v}
\end{eqnarray*}で表記し、これを数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の部分和と呼びます。無限級数\(\sum x_{n}\)が収束することとは、部分和の列\(\left\{s_{n}\right\} \)が有限な実数へ収束することとして定義されます。つまり、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つ場合には無限級数\(\sum x_{n}\)もまた収束するものと定義するとともに、この場合、無限級数\(\sum x_{n}\)の和を、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }s_{n}
\end{equation*}と定義します。
数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)が与えられたとき、その項の順番を何らかの形で入れ替えることにより得られる数列を\(\left\{y_{n}\right\} \)で表記します。すると、以下の2つの級数\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=1}^{\infty }x_{n} \\
&&\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{eqnarray*}が得られますが、これらの値は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdots \right\}
\end{equation*}です。この数列\(\left\{x_{n}\right\} \)の項の無限級数\begin{equation}\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}は収束します（演習問題）。続いて、すべての自然数を以下の3種類に分類します。\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \text{ }4\text{で割ると}1\text{余る奇数}4m-3\ \left( m\in \mathbb{N} \right) \\
&&\left( b\right) \ 4\text{で割ると}3\text{余る奇数}4m-1\ \left( m\in \mathbb{N} \right) \\
&&\left( c\right) \ \text{偶数}2m\ \left( m\in \mathbb{N} \right)
\end{eqnarray*}その上で、数列\(\left\{y_{n}\right\} \)を、\begin{eqnarray*}\left\{ y_{n}\right\} &=&\left\{ \frac{1}{4m-3},\frac{1}{4m-1},-\frac{1}{2m},\cdots \right\} \\
&=&\left\{ \frac{1}{4\cdot 1-3},\frac{1}{4\cdot 1-1},-\frac{1}{2\cdot 1},\frac{1}{4\cdot 2-3},\frac{1}{4\cdot 2-1},-\frac{1}{2\cdot 2}\cdots \right\}
\\
&=&\left\{ 1,\frac{1}{3},-\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{7},-\frac{1}{4},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}と定義します。\(\left\{y_{n}\right\} \)は\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項を並べ替えることにより得られる数列です。この数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)の項の無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots
\end{equation*}もまた収束しますが、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\not=\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立ちます（演習問題）。
正項級数と項を加える順序
無限級数が収束する場合、項を加える順番を変更すれば、無限級数の和の値も変わり得ることが明らかになりました。一方、正項級数が収束する場合、項を加える順序をどのように変えても級数の和は変わりません。
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=L
\end{equation*}が成り立つものとする。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の順番を入れ替えることにより得られる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}=L
\end{equation*}が成り立つ。
正項級数が発散する場合にも同様の主張が成り立ちます。つまり、正項級数が正の無限大へ発散する場合、項を加える順序をどのように変えても級数は正の無限大へ発散します。
\forall n\in \mathbb{N} :x_{n}\geq 0
\end{equation*}を満たす数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)について、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立つものとする。数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の順番を入れ替えることにより得られる数列\(\left\{ y_{n}\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}=+\infty
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}で与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\left\{ x_{n}\right\} =\left\{ 1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\frac{1}{5},\cdots \right\}
\end{equation*}です。以下の問いに答えてください。
- 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の無限級数\begin{equation}\sum_{n=1}^{+\infty }x_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots \quad \cdots (1)\end{equation}が収束することを示してください。
- 数列\(\left\{ x_{n}\right\} \)の項の順番を入れ替えることにより得られる数列\begin{eqnarray*}\left\{ y_{n}\right\} &=&\left\{ \frac{1}{4m-3},\frac{1}{4m-1},-\frac{1}{2m},\cdots \right\} \\&=&\left\{ 1,\frac{1}{3},-\frac{1}{2},\frac{1}{5},\frac{1}{7},-\frac{1}{4},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}の無限級数\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{+\infty }y_{n}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots
\end{equation*}が収束するとともに、\begin{equation*}
\sum_{n=1}^{\infty }x_{n}\not=\sum_{n=1}^{\infty }y_{n}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
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