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ルベーグ測度

ボレル集合の定義と具体例

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ボレル集合族

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法測度ではないという問題があります。つまり、\(\mathbb{R} \)上のすべての点集合を外延量の測定対象とした場合、「ある点集合の外延量は、それを互いに素な部分に分割した場合の各部分の外延量の合計になる」という直感的事実が成り立つとは限らなくなってしまいます。外測度\(\mu^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。以上を踏まえた上で、外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域を可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)へ縮小したとき、\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法測度としての性質を満たすことを確認しました。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)の定義域をルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)に縮小して得られる写像\(\mu:\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)をルベーグ測度と呼びます。ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)ではなくルベーグ測度\(\mu \)について議論している場合、その定義域である可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を\(\mathfrak{M}_{\mu }\)と表記する場合もあります。ただ、両者は等しい\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。

さらに、ルベーグ可測集合の具体例を挙げましたが、その中で、\(\mathbb{R} \)上の任意の開集合がルベーグ可測であることを確認しました。つまり、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ちなみに、開集合系\(\mathcal{O}\)は\(\sigma \)-代数ではありません。実際、開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その補集合\(A^{c}\)は\(\mathbb{R} \)上の閉集合ですが、閉集合は開集合であるとは限らず、したがって\(\mathcal{O}\)は補集合について閉じていません。集合族が\(\sigma \)-代数であるためには補集合について閉じている必要があります。したがって\(\mathcal{O}\)は\(\sigma \)-代数ではないことが明らかになりました。

では、開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数は可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の他にも存在するのでしょうか。例えば、\(\mathbb{R} \)のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)は明らかにそのような集合族の1つです。これらの例から明らかであるように、\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{O}\subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)や実数空間のべき集合\(2^{\mathbb{R} }\)はともに\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\}_{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。その上で、この集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これをボレル集合族(family of Borel sets)と呼びます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の要素をボレル集合(Borel set)と呼びます。集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathfrak{B} &\Leftrightarrow &A\in \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda
}\mathfrak{B}_{\lambda }\quad \because \text{ボレル集合族の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \Lambda :A\in \mathfrak{B}_{\lambda
}\quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、ボレル集合\(A\)と、\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)の要素になることが保証されます。

集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の要素である\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)は\(\mathbb{R} \)の部分集合族であるため、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の共通部分として定義されるボレル集合族\(\mathfrak{B}\)もまた\(\mathbb{R} \)の部分集合族です。したがって、その要素であるボレル集合は\(\mathbb{R} \)の部分集合です。共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は自身を定義するもととなったすべて集合\(\mathfrak{B}_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)の部分集合です。さらに、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)自身もまた集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}=\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)自身もまた\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数です。

以上の事実は、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)が集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する集合の中でも最小の集合であることを意味します。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるということです。このような事情を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)を開集合系\(\mathcal{O}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数(minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{O}\))やボレル\(\sigma \)-代数(Borel \(\sigma \)-algebra)などと呼ぶ場合もあります。

命題(ボレル集合族は開集合系から生成される最小のσ-代数)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)が与えられたとき、\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)とする。その上で、ボレル集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\mathfrak{B}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}=\mathfrak{B}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\subset
\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

証明

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以上の命題より、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\mathfrak{B}\)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

 

ボレル集合はルベーグ可測

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、ボレル集合族は、\begin{equation*}\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義されますが、先の命題より\(\mathfrak{B}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合であるため、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)もまた\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数であるため、\(\mathfrak{M}_{\mu }\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の1つです。この事実と上の関係を踏まえると、\begin{equation*}\mathfrak{B}\subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}を得ます。つまり、任意のボレル集合はルベーグ可測です。

命題(ボレル集合はルベーグ可測)
ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{B}\subset \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つ。

上の命題の逆もまた成立するのでしょうか。つまり、ルベーグ可測な集合はボレル集合なのでしょうか。実は、\(\mathbb{R} \)上にはボレル集合ではないルベーグ可測集合が存在します。そのような集合を具体的に構成することができるのですが、議論が長くなるため場を改めて解説します。いずれにせよ、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)はルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)の真部分集合であるということです。

 

空集合と実数空間はボレル集合

空集合\(\phi \)と実数空間\(\mathbb{R} \)はともにボレル集合です。

命題(空集合と実数空間はボレル集合)
ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は、\begin{eqnarray*}\phi &\in &\mathfrak{B} \\\mathbb{R} &\in &\mathfrak{B}
\end{eqnarray*}をともに満たす。

証明

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開集合はボレル集合

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\mathbb{R} \)の開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} \)上の任意の開集合はボレル集合です。

命題(開集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。

例(実数空間と空集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)や空集合\(\phi \)はいずれもボレル集合であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はともに\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、上の命題より、これらはやはりボレル集合です。
例(任意個の開集合の和集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)は有限合併、可算合併、非可算合併のいずれについても閉じています。つまり、任意個の開集合の和集合もまた開集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の開集合の和集合もまたボレル集合です。
例(可算個の開集合の共通部分はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{O}\)は有限交叉について閉じていますが、可算交叉や非可算交叉については閉じていません。つまり、有限個の開集合の共通部分は開集合ですが、可算個や非可算個の開集合の共通部分は開集合であるとは限りません。ただし、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算交叉について閉じているため、たとえ可算個の開集合の共通部分が開集合ではなくても、それがボレル集合であることは保証されます。

 

閉集合はボレル集合

\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合はボレル集合です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(閉集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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例(実数空間と空集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)や空集合\(\phi \)はいずれもボレル集合であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\mathbb{R} \)と\(\phi \)はともに\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、上の命題より、これらはやはりボレル集合です。
例(任意個の閉集合の共通部分はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)は有限交叉、可算交叉、非可算交叉のいずれについても閉じています。つまり、任意個の閉集合の共通部分もまた閉集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の閉集合の共通部分もまたボレル集合です。
例(可算個の閉集合の和集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の開集合系\(\mathcal{A}\)は有限合併について閉じていますが、可算合併や非可算合併については閉じていません。つまり、有限個の閉集合の和集合は開集合ですが、可算個や非可算個の閉集合の和集合は閉集合であるとは限りません。ただし、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、たとえ可算個の閉集合の和集合が閉集合ではなくても、それがボレル集合であることは保証されます。
例(コンパクト集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の点集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、\(A\)が有界な\(\mathbb{R} \)上の閉集合であることを意味します。上の命題より\(\mathbb{R} \)上の任意の閉集合はボレル集合であるため、\(\mathbb{R} \)上の任意のコンパクト集合もまたボレル集合です。
例(有限集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有限集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{n}\right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、1点集合\(\left\{x_{k}\right\} \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため(確認してください)、先の命題よりこれはボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は有限合併について閉じているため、有限個のボレル集合\(\left\{x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)はボレル集合です。しかも、\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)も有限合併について閉じているため、有限個の閉集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)は閉集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)上の有限集合はボレル集合かつ閉集合です。
例(可算集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の可算集合\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots\right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,2,\cdots \right) \)について、1点集合\(\left\{x_{k}\right\} \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上の閉集合であるため、先の命題よりこれはボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、可算個のボレル集合\(\left\{x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)はボレル集合です。一方、\(\mathbb{R} \)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)は可算合併について閉じていないため、可算個の閉集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)は閉集合であるとは限りません。つまり、\(\mathbb{R} \)上の可算集合はボレル集合ですが閉集合であるとは限りません。

 

有界半開区間はボレル集合

有界な右半開区間とは、\(a\leq b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}\lbrack a,b)=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R} \)の部分集合のことです。有界な右半開区間をすべて集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\mathfrak{S}_{m}\)で表記します。

任意の有界な右半開区間はボレル集合です。つまり、有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(区間はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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区間塊はボレル集合

有界な右半開区間を要素として持つ集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、そこから互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}を作ります。このような和集合として表される\(\mathbb{R} \)の部分集合を区間塊と呼び、すべての区間塊を集めてできる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)で表記します。

任意の区間塊はボレル集合です。つまり、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(区間塊はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の区間塊からなる集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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任意の区間は区間塊でもあるため、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。以上の事実と上の命題より、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset
\mathfrak{B}
\end{equation*}を得ます。

 

ボレル集合族は近傍系(有界閉区間の集合族)から生成される

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数ですが、実際には、ボレル集合\(\mathfrak{B}\)を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\)に属するすべての開集合は必要なく、\(\mathcal{O}\)の部分集合から\(\mathfrak{B}\)を定義することができます。順番に解説します。

実数\(a\in \mathbb{R} \)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(a\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍は、\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \left\vert x-a\right\vert <\varepsilon \right\}
\end{equation*}と定義される\(\mathbb{R} \)の部分集合です。ただし、定義より以下の関係\begin{equation*}N_{\varepsilon }\left( a\right) =\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{equation*}が成立するため、\(\mathbb{R} \)上において点の近傍と有界開区間は実質的に等しい概念です。

点\(a\in \mathbb{R} \)の近傍をすべて集めてできる集合を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{eqnarray*}N\left( a\right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\
0<\varepsilon <+\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。さらに、\(\mathbb{R} \)上のすべての点のすべての近傍を集めてできる集合を\(\mathbb{R} \)の近傍系と呼び、\begin{eqnarray*}\mathcal{N} &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge 0<\varepsilon <+\infty \right\}
\end{eqnarray*}で表記します。つまり、\(\mathcal{N}\)はすべての有界開区間からなる集合です。

点の近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)すなわち有界開区間\(\left(a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \)は\(\mathbb{R} \)上の開集合であるため、\(\mathbb{R} \)の近傍系\(\mathcal{N}\)と開集合系\(\mathcal{O}\)の間には以下の関係\begin{equation*}\mathcal{N}\subset \mathcal{O}
\end{equation*}が成り立ちます。また、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つため、\begin{equation*}\mathcal{O}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

開集合系\(\mathcal{O}\)からボレル集合族\(\mathfrak{B}\)を定義した際の議論と同様の議論を近傍系\(\mathcal{N}\)に対して行います。具体的には以下の通りです。

実数空間のベキ集合\(2^{\mathbb{R} }\)がそうであるように、近傍系\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{N}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{N}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、実数空間のべき集合\(2^{\mathbb{R} }\)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。その上で、この集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathcal{N}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数(smallest \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{N}\))と呼びます。

その名の通り、この集合族\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。

命題(近傍系から生成される最小のσ-代数)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の近傍系\(\mathcal{N}\)が与えられたとき、\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)とする。その上で、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{N}\right) \subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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以上の命題より、\(\sigma\left( \mathcal{N}\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

実は、この集合族\(\sigma\left( \mathcal{N}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)一致することが保証されます。したがって、ボレル集合を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\)に属するすべての開集合は必要ではなく、\(\mathcal{O}\)の部分集合である近傍系\(\mathcal{N}\)があれば十分です。ボレル集合族は有界開区間から定義可能であるということです。

命題(ボレル集合は近傍系から生成される最小のσ-代数)
実数空間\(\mathbb{R} \)上の近傍系\(\mathcal{N}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。

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演習問題

問題(ボレル集合は無限閉区間から生成される)
\(\mathbb{R} \)上に存在するすべての無限半閉区間からなる集合族は、\begin{equation*}\left\{ \left( -\infty ,b\right] \ |\ b\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。この集合族から生成される最小の\(\sigma \)-代数を、\begin{equation*}\sigma \left( \left\{ \left( -\infty ,b\right] \ |\ b\in \mathbb{R} \right\} \right)
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\sigma \left( \left\{ \left( -\infty ,b\right] \ |\ b\in \mathbb{R} \right\} \right) =\mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(\mathfrak{B}\)はボレル集合族です。
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問題(ボレル集合は有界閉区間から生成される)
\(\mathbb{R} \)上に存在するすべての有界閉区間からなる集合族は、\begin{equation*}\left\{ \left[ a,b\right] \ |\ a<b\wedge a,b\in \mathbb{R} \right\}
\end{equation*}です。この集合族から生成される最小の\(\sigma \)-代数を、\begin{equation*}\sigma \left( \left\{ \left[ a,b\right] \ |\ a<b\wedge a,b\in \mathbb{R} \right\} \right)
\end{equation*}で表記します。以上を踏まえた上で、\begin{equation*}
\sigma \left( \left\{ \left[ a,b\right] \ |\ a<b\wedge a,b\in \mathbb{R} \right\} \right) =\mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。ただし、\(\mathfrak{B}\)はボレル集合族です。
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