ルベーグ可測集合族は実数空間Rの開集合系を部分集合として持つσ-代数ですが、他にも同様の性質を満たすRの部分集合族は存在するのでしょうか。ボレル集合族はそのような性質を満たすRの部分集合族の中で最小のものです。
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ボレル集合族

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R}\)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。つまり、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は空集合\(\phi \)を要素として持つとともに補集合と可算合併について閉じています。さらに、ルベーグ可測集合の具体例を挙げましたが、その中で、\(\mathbb{R}\)上の任意の開集合がルベーグ可測であることを確認しました。つまり、\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)と可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}
\mathcal{O}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ちなみに、開集合系\(\mathcal{O}\)は\(\sigma \)-代数ではありません。実際、開集合\(A\in \mathcal{O}\)を任意に選んだとき、その補集合\(A^{c}\)は\(\mathbb{R}\)上の閉集合ですが、閉集合は開集合であるとは限らず、したがって\(\mathcal{O}\)は補集合について閉じていないからです(演習問題にします)。

開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数は可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の他にも存在するのでしょうか。例えば、\(\mathbb{R}\)のベキ集合\(2^{\mathbb{R}}\)は明らかにそのような集合族の1つです(確認してください)。そこで、\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R}\)の部分集合族について考え、それを、\begin{equation}
\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda } \tag{1}
\end{equation}で表記します。先の議論より、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)や\(2^{\mathbb{R}}\)もまた\(\left( 1\right) \)の要素です。その上で、上の集合族\(\left( 1\right) \)の共通部分をボレル集合族(family of Borel sets)と呼び、これを、\begin{equation}
\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\tag{2}
\end{equation}で表記します。ボレル集合\(\mathfrak{B}\)の要素をボレル集合(Borel set)と呼びます。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\mathbb{R}\)の部分集合族である\(\left( 1\right) \)の共通部分であるため、\(\mathfrak{B}\)の要素であるボレル集合もまた\(\mathbb{R}\)の部分集合です。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)もまた\(\mathbb{R}\)の部分集合族であるということです。さらに、共通部分の定義より、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は集合族\(\left( 1\right) \)のすべての要素の部分集合であるということです。さらに、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)自身もまた\(\mathcal{O}\)を部分集合として含む\(\sigma \)-代数であることが示されます(証明は長くなるため「命題の証明」ページへ掲載します)。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の中でも最小の集合であるということです。言い換えると、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\mathcal{O}\)を部分集合として含む\(\sigma \)-代数であるとともに、同様の性質を満たす任意の\(\sigma \)-代数の部分集合であるということです。このような事情を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は開集合系\(\mathcal{O}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数(minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{O}\))であると言います。

命題(ボレル集合族は開集合系から生成される最小のσ-代数)
実数空間\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)が与えられたとき、\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R}\)の部分集合\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)について考える。このとき、ボレル集合族\begin{equation*}
\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。
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上の命題より、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であるため、空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

 

ボレル集合はルベーグ可測

繰り返しになりますが、\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\mathbb{R}\)の部分集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)が与えられたとき、ボレル集合族は、\begin{equation*}
\mathfrak{B}=\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義されますが、先の命題より、\(\mathfrak{B}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合であるため、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}という関係が成り立ちます。ルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)もまた\(\mathcal{O}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数であるため、\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素の1つです。この事実と上の関係を踏まえると、\begin{equation*}
\mathfrak{B}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}という関係が成り立つことが明らかになりました。つまり、任意のボレル集合はルベーグ可測です。

命題(ボレル集合はルベーグ可測)
ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の間には、\begin{equation*}
\mathfrak{B}\subset \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}
\end{equation*}が成り立つ。
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では、上の命題の逆もまた成立するのでしょうか。つまり、ルベーグ可測な点集合はボレル集合なのでしょうか。実は、\(\mathbb{R}\)上にはボレル集合ではないルベーグ可測集合が存在します。そのような集合を具体的に構成することができるのですが、議論が長くなるため場を改めて解説します。いずれにせよ、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)はルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)の真部分集合であるということです。

 

空集合と実数空間はボレル集合

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の中にはどのような種類の点集合が含まれているのでしょうか。以降ではボレル集合の具体例を挙げます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}
\phi \in \mathfrak{B}
\end{equation*}を満たします。以上の事実と、\(\mathfrak{B}\)が補集合について閉じていることを踏まえると、\begin{equation*}
\phi ^{c}=\mathbb{R}\in \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、空集合\(\phi \)と実数空間\(\mathbb{R}\)はともにボレル集合です。

命題(空集合と実数空間はボレル集合)
ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は、\begin{eqnarray*}
\phi &\in &\mathfrak{B} \\
\mathbb{R}&\in &\mathfrak{B}
\end{eqnarray*}をともに満たす。
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開集合はボレル集合

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は\(\mathbb{R}\)の開集合系\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}
\mathcal{O}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R}\)上の任意の開集合はボレル集合です。

命題(開集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の開集合系\(\mathcal{O}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}
\mathcal{O}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(実数空間と空集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)や空集合\(\phi \)はいずれもボレル集合であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\mathbb{R}\)と\(\phi \)はともに\(\mathbb{R}\)上の開集合であるため(確認してください)、上の命題より、これらはやはりボレル集合です。
例(任意個の開集合の和集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の開集合系\(\mathcal{O}\)は有限合併、可算合併、非可算合併のいずれについても閉じています。つまり、任意個の開集合の和集合もまた開集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の開集合の和集合もまたボレル集合です。
例(可算個の開集合の共通部分はルベーグ可測)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の開集合系\(\mathcal{O}\)は有限交叉について閉じていますが、可算交叉や非可算交叉については閉じていません。つまり、有限個の開集合の共通部分は開集合ですが、可算個や非可算個の開集合の共通部分は開集合であるとは限りません。ただし、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算交叉について閉じているため、たとえ可算個の開集合の共通部分が開集合ではなくても、それがボレル集合であることは保証されます。

 

閉集合はボレル集合

\(\mathbb{R}\)上の任意の閉集合はボレル集合です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}
\mathcal{A}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

\(\mathbb{R}\)上の閉集合\(A\in \mathcal{A}\)を任意に選ぶと、閉集合の定義より、その補集合\(A^{c}\)は\(\mathbb{R}\)上の開集合です。先に示したように\(\mathbb{R}\)上の開集合はボレル集合であるため、\(A^{c}\)はボレル集合です。さらに、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は補集合について閉じているため、ボレル集合\(A^{c}\)の補集合である\(\left( A^{c}\right) ^{c}\)もまたボレル集合ですが、これは\(A\)と等しい集合です。したがって、\(A\)がボレル集合であることが示されました。

命題(閉集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}
\mathcal{A}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。
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例(実数空間と空集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)や空集合\(\phi \)はいずれもボレル集合であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\mathbb{R}\)と\(\phi \)はともに\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるため(確認してください)、上の命題より、これらはやはりボレル集合です。
例(任意個の閉集合の共通部分はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)は有限交叉、可算交叉、非可算交叉のいずれについても閉じています。つまり、任意個の閉集合の共通部分もまた閉集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の閉集合の共通部分もまたボレル集合です。
例(可算個の閉集合の和集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の開集合系\(\mathcal{A}\)は有限合併について閉じていますが、可算合併や非可算合併については閉じていません。つまり、有限個の閉集合の和集合は開集合ですが、可算個や非可算個の閉集合の和集合は閉集合であるとは限りません。ただし、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、たとえ可算個の閉集合の和集合が閉集合ではなくても、それがボレル集合であることは保証されます。
例(コンパクト集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の点集合\(A\)がコンパクト集合であることとは、\(A\)が有界な\(\mathbb{R}\)上の閉集合であることを意味します。上の命題より\(\mathbb{R}\)上の任意の閉集合はボレル集合であるため、\(\mathbb{R}\)上の任意のコンパクト集合もまたボレル集合です。
例(有限集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の有限集合\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、1点集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)はいずれも\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるため(確認してください)、先の命題よりこれはボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は有限合併について閉じているため、有限個のボレル集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)はボレル集合です。しかも、\(\mathbb{R}\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)も有限合併について閉じているため、有限個の閉集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)は閉集合です。つまり、\(\mathbb{R}\)上の有限集合はボレル集合かつ閉集合です。
例(可算集合はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の有限集合\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,2,\cdots \right) \)について、1点集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)はいずれも\(\mathbb{R}\)上の閉集合であるため、先の命題よりこれはボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、可算個のボレル集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)はボレル集合です。一方、\(\mathbb{R}\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\)は可算合併について閉じていないため、可算個の閉集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)は閉集合であるとは限りません。つまり、\(\mathbb{R}\)上の可算集合はボレル集合ですが閉集合であるとは限りません。

 

有界半開区間はボレル集合

復習になりますが、有界な右半開区間とは、\(a\leq b\)を満たす任意の実数\(a,b\in \mathbb{R}\)を用いて、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\left\{ x\in
\mathbb{R}\ |\ a\leq x<b\right\}
\end{equation*}と表現される\(\mathbb{R}\)の部分集合のことです。また、有界な右半開区間をすべて集めてできる\(\mathbb{R}\)の部分集合族を\(\mathfrak{S}_{m}\)で表しました。

任意の有界な右半開区間はボレル集合です。つまり、有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

有界な右半開区間\([a,b)\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだとき、これは、\begin{equation*}
\lbrack a,b)=\bigcup_{k=1}^{\infty }\left[ a,b-\tfrac{1}{k}\right] \end{equation*}という可算個の有界閉区間の和集合として表すことができます。閉区間は閉集合であり、閉集合はボレル集合であるため、任意の\(k\)について\(\left[ a,b-\tfrac{1}{k}\right] \)はボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は可算合併について閉じているため、可算個のボレル集合\(\left[ a,b-\tfrac{1}{k}\right] \)の和集合として表現される\([a,b)\)がボレル集合であることが明らかになりました。

命題(区間はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の有界な右半開区間からなる集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。
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区間塊はボレル集合

復習になりますが、区間の集合族\(\mathfrak{S}_{m}\)が与えられたとき、そこから互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選んだ上で、それらの和集合\begin{equation*}
\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}を作ります。このような和集合として表される\(\mathbb{R}\)の部分集合を区間塊と呼び、すべての区間塊を集めてできる\(\mathbb{R}\)の部分集合族を\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)で表しました。任意の区間は区間塊でもあるため、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。では、区間塊の集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。実は、任意の区間塊はボレル集合であるため、\begin{equation*}
\mathfrak{S}_{m}\subset \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset
\mathfrak{B}
\end{equation*}という関係が成り立ちます。証明は以下の通りです。

区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選びます。すると区間塊の定義より、互いに素な有限個の区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)が存在して、\begin{equation*}
A=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}という形で表すことができます。先に示したように任意の区間はボレル集合であるため、上の\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)はいずれも可測です。しかも、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\)は有限合併について閉じているため、ボレル集合である\(I_{1},\cdots ,I_{n}\)の有限合併として表される\(A\)もまたボレル集合であることが示されました。

命題(区間塊はボレル集合)
実数空間\(\mathbb{R}\)上の区間塊からなる集合族\(\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\)の間には、\begin{equation*}
\mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \subset \mathfrak{B}
\end{equation*}が成り立つ。
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次回はルベーグ測度について学びます。

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