カントール集合

カントール集合

有界閉区間\begin{equation*}
C_{0}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}が与えられているものとします（下図）。

区間\(C_{0}\)を3等分した上で中央の開区間を\(C_{0}\)から除去します。つまり、以下の開区間\begin{equation*}O_{1}=\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}を\(C_{0}\)から除去します。その結果、以下の集合\begin{eqnarray*}C_{1} &=&C_{0}\backslash O_{1} \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。明らかに、\begin{equation*}
C_{0}\supset C_{1}
\end{equation*}が成り立ちます。\(O_{1}\)は有界開区間であるためルベーグ可測であり、その長さは\(\frac{1}{3}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( O_{1}\right) =\frac{1}{3}
\end{equation*}です。\(C_{1}\)は互いに素な2つの閉区間であるためルベーグ可測であり、個々の閉区間の長さは\(\frac{1}{3}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( C_{1}\right) =2\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}
\end{equation*}です（下図）。

集合\(C_{1}\)を構成する2つの閉区間\(\left[ 0,\frac{1}{3}\right] ,\left[ \frac{2}{3},1\right] \)をそれぞれ3等分した上で中央の開区間を各々から除去します。つまり、以下の集合\begin{equation*}O_{2}=\left( \frac{1}{9},\frac{2}{9}\right) \cup \left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right)
\end{equation*}を\(C_{1}\)から除去します。その結果、以下の集合\begin{eqnarray*}C_{2} &=&C_{1}\backslash O_{2} \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[ \frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] \cup \left[ \frac{8}{9},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。\(O_{1}\)と\(O_{2}\)は互いに素です。明らかに、\begin{equation*}C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}
\end{equation*}が成り立ちます。\(O_{2}\)は互いに素な2つの開区間の和集合であるためルベーグ可測であり、個々の閉区間の長さは\(\frac{1}{9}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( O_{2}\right) =2\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{9}
\end{equation*}です。\(C_{2}\)は互いに素な4つの閉区間の和集合であるためルベーグ可測であり、個々の閉区間の長さは\(\frac{1}{9}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( C_{2}\right) =4\cdot \frac{1}{9}=\frac{4}{9}
\end{equation*}です（下図）。

集合\(C_{2}\)を構成する4つの閉区間\(\left[ 0,\frac{1}{9}\right] ,\left[ \frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] ,\left[ \frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] ,\left[ \frac{8}{9},1\right] \)をそれぞれ3等分した上で中央の開区間を各々から除去します。つまり、以下の集合\begin{equation*}O_{3}=\left( \frac{1}{27},\frac{2}{27}\right) \cup \left( \frac{7}{27},\frac{8}{27}\right) \cup \left( \frac{19}{27},\frac{20}{27}\right) \cup \left(
\frac{25}{27},\frac{26}{27}\right)
\end{equation*}を\(C_{2}\)から除去します。その結果、以下の集合\begin{eqnarray*}C_{3} &=&C_{2}\backslash O_{3} \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{27}\right] \cup \left[ \frac{2}{27},\frac{1}{9}\right] \cup \left[ \frac{2}{9},\frac{7}{27}\right] \cup \left[ \frac{8}{27},\frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3},\frac{19}{27}\right] \cup \left[ \frac{20}{27},\frac{7}{9}\right] \cup \left[ \frac{8}{9},\frac{25}{27}\right] \cup \left[ \frac{26}{27},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。\(O_{1},O_{2},O_{3}\)は互いに素です。明らかに、\begin{equation*}C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset C_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。\(O_{3}\)は互いに素な4つの開区間の和集合であるためルベーグ可測であり、個々の閉区間の長さは\(\frac{1}{27}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( O_{3}\right) =4\cdot \frac{1}{27}=\frac{4}{27}
\end{equation*}です。\(C_{3}\)は互いに素な8つの閉区間の和集合であるためルベーグ可測であり、個々の閉区間の長さは\(\frac{1}{27}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( C_{3}\right) =8\cdot \frac{1}{27}=\frac{8}{27}
\end{equation*}です（下図）。

同様のプロセスを繰り返します。その結果、それぞれの\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}O_{n}=\left( \frac{1}{3^{n}},\frac{2}{3^{n}}\right) \cup \cdots \cup \left(
\frac{3^{n}-2}{3^{n}},\frac{3^{n}-1}{3^{n}}\right)
\end{equation*}および、\begin{eqnarray*}
C_{n} &=&C_{n-1}\backslash O_{n} \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{3^{n}}\right] \cup \cdots \cup \left[ \frac{3^{n}-1}{3^{n}},1\right] \end{eqnarray*}が得られます。\(O_{1},O_{2},O_{3},\cdots ,O_{n},\cdots \)は互いに素です。明らかに、\begin{equation*}C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset C_{3}\supset \cdots \supset
C_{n}\supset \cdots
\end{equation*}が成り立ちます。\(O_{n}\)は互いに素な\(2^{n-1}\)個の開区間の和集合であるためルベーグ可測であり、個々の開区間の長さは\(\frac{1}{3^{n}}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( O_{n}\right) =2^{n-1}\cdot \frac{1}{3^{n}}=\frac{1}{2}\left(
\frac{2}{3}\right) ^{n}
\end{equation*}です。\(C_{n}\)は互いに素な\(2^{n}\)個の閉区間の和集合であるためルベーグ可測であり、個々の閉区間の長さは\(\frac{1}{3^{n}}\)であるため、その測度は、\begin{equation*}\mu \left( C_{n}\right) =2^{n}\cdot \frac{1}{3^{n}}=\left( \frac{2}{3}\right) ^{n}
\end{equation*}です。

このようにして得られた集合列\(\left\{ C_{n}\right\} \)に対して、その共通部分\begin{equation*}\mathcal{C}=\bigcap_{n=1}^{+\infty }C_{n}
\end{equation*}をとり、これをカントール集合（Cantor set）と呼びます。

カントール集合を定義する集合列\(\left\{ C_{n}\right\} \)を生成する各ステップでは、その時点において残っているそれぞれの閉区間を3等分した上で、真ん中に位置する開区間を除去します。閉区間から真ん中の開区間を除去すれば左右に2つの閉区間が残るため、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(C_{n}\)は空集合ではありません。さらに言うと、閉区間は連続体であり、閉区間どうしの和集合もまた連続体であるため\(C_{n}\)は連続体です。したがって\(C_{n}\)は無限個を要素として持ちます。

任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(C_{n}\)が空集合ではないならば、同様の除去操作を無限に繰り返すことができます。ただし、\(n\)が大きくなるほど\(C_{n}\)は小さくなり続けます。無限回の除去操作を行ってもなお残された点からなる集合がカントール集合\(\mathcal{C}\)であるため、カントール集合は限りなく小さくなります。ただし、先の議論より、\(C_{n}\)は無限個の要素を持つためカントール集合もまた無限個の要素を持ちます。

カントール集合の再帰的な定義

集合\(X\subset \mathbb{R} \)および実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}aX+b=\left\{ ax+b\in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}と定義します。以上の表記を踏まえた上でカントール集合\(\mathcal{C}\)を定義するもととなる集合列\(\left\{ C_{n}\right\} \)を再帰的に定義します。

最初の集合は、\begin{equation*}
C_{0}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}ですが、これを3分割すると、\begin{eqnarray*}
C_{0} &=&\left[ 0,\frac{1}{3}\right] \cup \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \cup \left[ \frac{2}{3},1\right] \\
&=&\frac{1}{3}\left[ 0,\frac{1}{3}\right] \cup \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \cup \left( \frac{1}{3}\left[ 0,1\right] +\frac{2}{3}\right) \\
&=&\frac{1}{3}C_{0}\cup O_{1}\cup \left( \frac{1}{3}C_{0}+\frac{2}{3}\right)
\end{eqnarray*}となるため、中央の開区間\(O_{1}\)を消去することにより、\begin{eqnarray*}C_{1} &=&\frac{1}{3}C_{0}\cup \left( \frac{1}{3}C_{0}+\frac{2}{3}\right) \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3},1\right] \end{eqnarray*}を得ます。

この集合\(C_{1}\)を構成する2つの閉区間をそれぞれ3分割すると、\begin{eqnarray*}C_{1} &=&\left[ 0,\frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{2}{3},1\right] \\
&=&\left( \left[ 0,\frac{1}{9}\right] \cup \left( \frac{1}{9},\frac{2}{9}\right) \cup \left[ \frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] \right) \cup \left( \left[
\frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] \cup \left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right)
\cup \left[ \frac{8}{9},1\right] \right) \\
&=&\left( \left[ 0,\frac{1}{9}\right] \cup \left[ \frac{2}{3},\frac{7}{9}\right] \right) \cup \left( \left( \frac{1}{9},\frac{2}{9}\right) \cup
\left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) \right) \cup \left( \left[ \frac{2}{9},\frac{1}{3}\right] \cup \left[ \frac{8}{9},1\right] \right) \\
&=&\frac{1}{3}C_{1}\cup O_{2}\cup \left( \frac{1}{3}C_{1}+\frac{2}{3}\right)
\end{eqnarray*}となるため、中央の開区間の和集合\(O_{2}\)を消去することにより、\begin{equation*}C_{2}=\frac{1}{3}C_{1}\cup \left( \frac{1}{3}C_{1}+\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}を得ます。

以降についても同様に考えます。一般に、\(C_{n-1}\)を構成する\(n\)個の閉区間をそれぞれ3分割すると、\begin{equation*}C_{n-1}=\frac{1}{3}C_{n-1}\cup O_{n}\cup \left( \frac{1}{3}C_{n-1}+\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}となるため、中央の開区間の和集合\(O_{n}\)を消去することにより、\begin{equation*}C_{n}=\frac{1}{3}C_{n-1}\cup \left( \frac{1}{3}C_{n-1}+\frac{2}{3}\right)
\end{equation*}を得ます。

以上の議論より、カントール集合\(\mathcal{C}\)を定義するもととなる集合列\(\left\{ C_{n}\right\} \)を、\begin{eqnarray*}C_{0} &=&\left[ 0,1\right] \\
C_{n} &=&\frac{1}{3}C_{n-1}\cup \left( \frac{1}{3}C_{n-1}+\frac{2}{3}\right)
\quad \left( n\in \mathbb{N} \right)
\end{eqnarray*}と再帰的に定義できることが明らかになりました。その上で、カントール集合は、\begin{equation*}
\mathcal{C}=\bigcap_{n=1}^{+\infty }C_{n}
\end{equation*}と定義されます。

カントール集合の明示的な表現

カントール集合をより明示的な形で表現することもできます。具体的には以下の通りです。

区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(3\)分割した上で真ん中の開区間だけを抽出することは、区間を\(3^{1}\)分割した上で\(3k+1\ \left( k=0\right) \)番目の開区間だけを抽出することと同義です。個々の開区間の長さは\(\frac{1}{3^{1}}\)であるため、その結果、\begin{eqnarray*}X_{1} &=&\bigcup_{k=0}^{0}\left( \frac{3k+1}{3^{1}},\frac{3k+2}{3^{1}}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)
\end{eqnarray*}が抽出されます。明らかに、\begin{equation}
X_{1}=O_{1} \quad \cdots (1)
\end{equation}であるため、\begin{eqnarray*}
C_{1} &=&\left[ 0,1\right] \backslash O_{1}\quad \because \left\{
C_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash X_{1}\quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
C_{1}=\left[ 0,1\right] \backslash X_{1}
\end{equation*}を得ます。

区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(3\)分割した上で得られた個々の区間から真ん中の開区間だけを抽出することは、区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(3^{2}\)分割した上で\(3k+1\ \left(k=0,1,2\right) \)番目の開区間だけを抽出することと同義です。個々の開区間の長さは\(\frac{1}{3^{2}}\)であるため、その結果、\begin{eqnarray*}X_{2} &=&\bigcup_{k=0}^{2}\left( \frac{3k+1}{3^{2}},\frac{3k+2}{3^{2}}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{9},\frac{2}{9}\right) \cup \left( \frac{4}{9},\frac{5}{9}\right) \cup \left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right)
\end{eqnarray*}が抽出されます。明らかに、\begin{equation*}
O_{2}\subset X_{2}\subset O_{1}\cup O_{2}
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{equation*}
O_{1}\cup O_{2}\subset O_{1}\cup X_{2}\subset O_{1}\cup O_{2}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(1\right) \)より、\begin{equation*}O_{1}\cup O_{2}\subset X_{1}\cup X_{2}\subset O_{1}\cup O_{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
X_{1}\cup X_{2}=O_{1}\cup O_{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。その結果、\begin{eqnarray*}
C_{1}\cap C_{2} &=&C_{2}\quad \because \left\{ C_{n}\right\} \text{は単調減少列} \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash \left( O_{1}\cup O_{2}\right) \quad \because
\left\{ C_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash \left( X_{1}\cup X_{2}\right) \quad \because
\left( 2\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
C_{1}\cap C_{2}=\left[ 0,1\right] \backslash \left( X_{1}\cup X_{2}\right)
\end{equation*}を得ます。

区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(9\)分割した上で得られた個々の区間から真ん中の開区間だけを抽出することは、区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(3^{3}\)分割した上で\(3k+1\ \left(k=0,1,2,\cdots ,8\right) \)番目の開区間だけを抽出することと同義です。個々の開区間の長さは\(\frac{1}{3^{3}}\)であるため、その結果、\begin{eqnarray*}X_{3} &=&\bigcup_{k=0}^{8}\left( \frac{3k+1}{3^{3}},\frac{3k+2}{3^{3}}\right) \\
&=&\left( \frac{1}{27},\frac{2}{27}\right) \cup \left( \frac{4}{27},\frac{5}{27}\right) \cup \left( \frac{7}{27},\frac{8}{27}\right) \cup \cdots \cup
\left( \frac{25}{27},\frac{26}{27}\right)
\end{eqnarray*}が抽出されます。明らかに、\begin{equation*}
O_{3}\subset X_{3}\subset O_{1}\cup O_{2}\cup O_{3}
\end{equation*}が成り立ちます。すると、\begin{equation*}
O_{1}\cup O_{2}\cup O_{3}\subset X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}\subset O_{1}\cup
O_{2}\cup O_{3}
\end{equation*}が成り立つため、\(\left(2\right) \)より、\begin{equation}X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}=O_{1}\cup O_{2}\cup O_{3} \quad \cdots (3)
\end{equation}を得ます。その結果、\begin{eqnarray*}
C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3} &=&C_{3}\quad \because \left\{ C_{n}\right\} \text{は単調減少列} \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash \left( O_{1}\cup O_{2}\cup O_{3}\right)
\quad \because \left\{ C_{n}\right\} \text{の定義} \\
&=&\left[ 0,1\right] \backslash \left( X_{1}\cup X_{2}\cup X_{3}\right)
\quad \because \left( 3\right)
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}=\left[ 0,1\right] \backslash \left( X_{1}\cup
X_{2}\cup X_{3}\right)
\end{equation*}を得ます。

一般に、区間\(\left[ 0,1\right] \)を\(n^{3}\)分割した上で\(3k+1\) \(\left(k=0,1,2,\cdots ,3^{n-1}-1\right) \)番目の開区間だけを抽出すると、個々の開区間の長さは\(\frac{1}{3^{n}}\)であるため、その結果、\begin{equation*}X_{n}=\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right)
\end{equation*}が抽出されるとともに、\begin{equation*}
O_{n}\subset X_{n}\subset \bigcup_{k=1}^{n}O_{n}
\end{equation*}が成り立ちます。その結果、先と同様に考えることにより（\(n\)に関する数学的帰納法）、\begin{equation*}\bigcap_{k=1}^{n}C_{k}=\left[ 0,1\right] \backslash \bigcup_{k=1}^{n}X_{k}
\end{equation*}を得ます。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について同様であるため、\begin{equation*}\bigcap_{n=1}^{+\infty }C_{n}=\left[ 0,1\right] \backslash
\bigcup_{n=1}^{+\infty }X_{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\mathcal{C}=\left[ 0,1\right] \backslash \bigcup_{n=1}^{+\infty
}\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right)
\end{equation*}を得ます。

3進展開を用いたカントール集合の表現

\(0\)以上\(1\)以下の小数\(x\in \left[0,1\right] \)が与えられたとき、これを3進法を用いて、\begin{equation}x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) } \quad \cdots (1)
\end{equation}という形で表現するためには、小数点以下の数からなる数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \left\{ a_{n}\right\} \subset \left\{ 0,1,2\right\} ^{\mathbb{N} } \\
&&\left( b\right) \ x=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}}
\end{eqnarray*}を満たしている必要があります。\(x\)に対して以上の条件を満たす数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)が存在する場合には、\(\left( 1\right) \)を\(x\)の3進展開（ternary expansion）と呼びます。

以上の定義が有効であるためには、任意の数列\(\left\{ a_{n}\right\} \subset \left\{ 0,1,2\right\}^{\mathbb{N} }\)に対して、無限級数\begin{equation*}\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}}
\end{equation*}が有限な実数へ収束することが保証されている必要があります。まずはこれを確認します。

3進展開は一意的に定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

先の命題を踏まえると、\(0,1,2\)を項としてとり得るそれぞれの数列\(\left\{ a_{n}\right\} \in \left\{ 0,1,2\right\} ^{\mathbb{N} }\)に対して、\begin{equation*}F\left( \left\{ a_{n}\right\} \right) =\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}}
\end{equation*}を値として定める写像\begin{equation*}
F:\left\{ 0,1,2\right\} ^{\mathbb{N} }\rightarrow \left[ 0,1\right] \end{equation*}が定義可能ですが、これは全射になることが保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \exists \left\{ a_{n}\right\} \in \left\{
0,1,2\right\} ^{\mathbb{N} }:x=F\left( \left\{ a_{n}\right\} \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \exists \left\{ a_{n}\right\} \in \left\{
0,1,2\right\} ^{\mathbb{N} }:x=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}}
\end{equation*}が成り立つということです。以上の事実は、\(\left[ 0,1\right] \)上の実数は必ず3進展開が可能であることを意味します。

上の命題において定義された写像は単射ではありません。以下の例より明らかです。

\(x\in \left[ 0,1\right] \)の3進展開が一意的に定まらない状況を想定します。つまり、以下の条件\begin{eqnarray*}x &=&0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) } \\
x &=&0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}をともに満たす2つの異なる数列\(\left\{ a_{n}\right\} ,\left\{b_{n}\right\} \in \left\{ 0,1,2\right\} ^{\mathbb{N} }\)が存在するものとします。これらは異なる数列であるため、対応する項どうしを順番に観察した場合、何らかの時点において必ず異なる項が出現します。そこで、\(m\)番目においてはじめて\(a_{m}\not=b_{m}\)が成り立つものとします。つまり、\begin{equation*}m=\min \left\{ n\in \mathbb{N} \ |\ a_{n}\not=b_{n}\right\}
\end{equation*}であるということです。この場合には、\(a_{m}\)と\(b_{m}\)のどちらか一方が必ず\(1\)になることが保証されます。

2つの実数\(x,y\in \left[ 0,1\right] \)がそれぞれ、\begin{eqnarray*}x &=&0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) } \\
y &=&0.b_{1}b_{2}b_{3}\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}と表現されるものとします。加えて、\begin{eqnarray*}
\forall n &\in &\mathbb{N} :a_{n}\in \left\{ 0,2\right\} \\
\forall n &\in &\mathbb{N} :b_{n}\in \left\{ 0,2\right\}
\end{eqnarray*}である場合、上の命題の対偶より、\begin{equation*}
x\not=y
\end{equation*}を得ます。つまり、\(\left[ 0,1\right] \)上の実数\(x\)を\(0\)または\(２\)だけを用いて3進展開\begin{equation*}x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\quad \left( a_{n}\in \left\{
0,2\right\} \right)
\end{equation*}した場合、このような3進展開は一意的になることが保証されます。

さて、カントール集合\(\mathcal{C}\)は有界閉区間\(\left[0,1\right] \)の部分集合であるため、その要素は\(0\)以上\(1\)以下の小数です。カントール集合\(\mathcal{C}\)を定義するもととなる集合列\(\left\{ C_{n}\right\} \)を定義する際には、\(C_{n}\)を生成する際に、\(C_{n-1}\)を構成する個々の閉区間をそれぞれ3等分した上で中央の閉区間を各々から除去します。このような事情を踏まえると、カントール集合の要素である小数を3進法で表現すれば何らかの規則性を発見できそうです。具体例を提示した上で、後に結論を一般化します。

最初の集合は、\begin{equation*}
C_{0}=\left[ 0,1\right] \end{equation*}ですが、区間の端点を変形すると、\begin{eqnarray*}
0 &=&\frac{0}{3^{1}}+\frac{0}{3^{2}}+\frac{0}{3^{3}}+\cdots =0.000\cdots
_{\left( 3\right) } \\
1 &=&\frac{2}{3^{1}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\cdots =0.222\cdots
_{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}となるため、\(C_{0}\)を3進法で表現すると、\begin{eqnarray*}C_{0} &=&\left[ 0.000\cdots _{\left( 3\right) },0.222\cdots _{\left(
3\right) }\right] \\
&=&\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\right\}
\end{eqnarray*}となります。

さて、\begin{eqnarray*}
\frac{1}{3} &=&\frac{0}{3^{1}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\cdots
=0.022\cdots _{\left( 3\right) } \\
\frac{2}{3} &=&\frac{2}{3^{1}}+\frac{0}{3^{2}}+\frac{0}{3^{3}}+\cdots
=0.200\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}と表現できることを踏まえると、次の集合は、\begin{eqnarray*}
C_{1} &=&\frac{1}{3}C_{0}\cup \left( \frac{1}{3}C_{0}+\frac{2}{3}\right) \\
&=&0.022\cdots _{\left( 3\right) }\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left(
3\right) }\right\} \cup \left( 0.022\cdots _{\left( 3\right) }\left\{
0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\right\} +0.200\cdots _{\left(
3\right) }\right) \\
&=&\left\{ 0.0a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\right\} \cup \left(
\left\{ 0.0a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\right\} +0.200\cdots
_{\left( 3\right) }\right) \\
&=&\left\{ 0.0a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\right\} \cup \left\{
0.2a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\right\} \\
&=&\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ |\ a_{1}\in \left\{
0,2\right\} \right\}
\end{eqnarray*}となります。

さらに次の集合は、\begin{eqnarray*}
C_{2} &=&\frac{1}{3}C_{1}\cup \left( \frac{1}{3}C_{1}+\frac{2}{3}\right) \\
&=&0.022\cdots _{\left( 3\right) }\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left(
3\right) }\ |\ a_{1}\in \left\{ 0,2\right\} \right\} \cup \left( 0.022\cdots
_{\left( 3\right) }\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ |\
a_{1}\in \left\{ 0,2\right\} \right\} +0.200\cdots _{\left( 3\right)
}\right) \\
&=&\left\{ 0.0a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ |\ a_{2}\in \left\{
0,2\right\} \right\} \cup \left( \left\{ 0.0a_{2}a_{3}\cdots _{\left(
3\right) }\ |\ a_{2}\in \left\{ 0,2\right\} \right\} +0.200\cdots _{\left(
3\right) }\right) \\
&=&\left\{ 0.0a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ |\ a_{2}\in \left\{
0,2\right\} \right\} \cup \left\{ 0.2a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\
|\ a_{2}\in \left\{ 0,2\right\} \right\} \\
&=&\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ |\ a_{1},a_{2}\in
\left\{ 0,2\right\} \right\}
\end{eqnarray*}となります。

同様に考えることにより、一般に、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}C_{n} &=&\frac{1}{3}C_{n-1}\cup \left( \frac{1}{3}C_{n-1}+\frac{2}{3}\right)
\\
&=&\left\{ 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ |\ \forall k\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{k}\in \left\{ 0,2\right\} \right\}
\end{eqnarray*}となるため、\(x\in \left[ 0,1\right] \)を任意に選んだときに、\begin{eqnarray*}x\in \mathcal{C} &\Leftrightarrow &x\in \bigcap_{n=1}^{+\infty }C_{n}\quad
\because \text{カントール集合の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :x\in C_{n} \\
&\Leftrightarrow &\forall n\in \mathbb{N} :x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ \text{s.t. }\forall k\in
\left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a_{k}\in \left\{ 0,2\right\} \\
&\Leftrightarrow &x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\ \text{s.t. }\forall n\in \mathbb{N} :a_{n}\in \left\{ 0,2\right\}
\end{eqnarray*}を得ます。つまり\(\left[ 0,1\right] \)上の実数がカントール集合\(\mathcal{C}\)の要素であることと、\(x\)が小数点以下が\(0\)または\(2\)であるような3進数\begin{equation*}x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }\quad \left( a_{n}\in \left\{
0,1\right\} \right)
\end{equation*}として表現できることは必要十分であることが明らかになりました。しかも、数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)の項の中には\(1\)が含まれないため、先の命題より、\(x\)の3進展開が一意的に定まることが保証されます。

カントール集合は非空なコンパクト集合

カントール集合\(\mathcal{C}\)は\(\mathbb{R} \)上の非空なコンパクト集合です。つまり、\(\mathcal{C}\)は有界な\(\mathbb{R} \)上の非空な閉集合です。

カントール集合は零集合

カントール集合\(\mathcal{C}\)は零集合です。つまり、その測度はゼロです。

カントール集合は非可算集合

カントール集合は非可算集合です。証明ではカントールの対角線論法を利用します。

有限集合や可算集合はいずれも零集合です。つまり、有限集合や可算集合の測度は\(0\)です。では逆に、零集合はいずれも有限集合または可算集合のどちらかであると言えるのでしょうか。この主張は成り立ちません。実際、これまでの議論から明らかになったように、カントール集合は非可算集合であるような零集合です。

カントール集合は連続体

カントール集合\(\mathcal{C}\)が非可算集合であることが明らかになりました。さらに、選択公理を認める場合、カントール集合は連続体になります。つまり、その濃度は\(\left\vert \mathbb{R} \right\vert \)です。

カントール集合はルベーグ可測集合

カントール集合\(\mathcal{C}\)はルベーグ可測集合です。

カントール集合\(\mathcal{C}\)の任意の部分集合もまたルベーグ可測集合です。

カントール集合\(\mathcal{C}\)はボレル集合です。

ボレル集合はルベーグ可測集合でもありますが、その逆もまた成り立つのでしょうか。

カントール集合\(\mathcal{C}\)は非可算集合であるため、カントール集合の部分集合の個数は、\begin{equation*}2^{\left\vert \mathbb{R} \right\vert }
\end{equation*}です。カントール集合の部分集合のはいずれもルベーグ可測集合であるため、ルベーグ可測集合の個数は\(2^{\left\vert \mathbb{R} \right\vert }\)以上です。一方、ボレル集合の個数は、\begin{equation*}\left\vert \mathbb{R} \right\vert
\end{equation*}です。つまり、ルベーグ可測集合の個数はボレル集合の個数よりも多いため、ルベーグ可測集合の中にはボレル集合ではないものが存在することが明らかになりました。詳細は必要な道具が揃った段階で改めて詳しく解説します。

演習問題