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ルベーグ測度

拡大実数系上のボレル集合

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拡大実数系上のボレル集合

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数は存在するのでしょうか。例えば、\(\overline{\mathbb{R} }\)のベキ集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は明らかにそのような集合族の1つです。この例から明らかであるように、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、拡大実数系のべき集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。その上で、この集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これをボレル集合族(family of Borel sets)と呼びます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の要素をボレル集合(Borel set)と呼びます。集合\(A\subset \overline{\mathbb{R} }\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) &\Leftrightarrow &A\in \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }\quad \because \text{ボレル集合族の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \Lambda :A\in \mathfrak{B}_{\lambda
}\quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、ボレル集合\(A\)と、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)の要素になることが保証されます。

集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の要素である\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)は\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族であるため、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の共通部分として定義されるボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)もまた\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族です。したがって、その要素であるボレル集合は\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合です。共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は自身を定義するもととなったすべて集合\(\mathfrak{B}_{\lambda }\ \left( \lambda \in \Lambda \right) \)の部分集合です。さらに、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)自身もまた集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素であること、すなわち、\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立つことが示されます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)自身もまた\(\mathcal{O}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数です。

以上の事実は、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)が集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する集合の中でも最小の集合であることを意味します。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるということです。このような事情を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)から生成される最小の\(\sigma \)-代数(minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \))やボレル\(\sigma \)-代数(Borel \(\sigma \)-algebra)などと呼ぶ場合もあります。

命題(ボレル集合族は開集合系から生成される最小のσ-代数)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)が与えられたとき、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族を\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)とする。その上で、ボレル集合族を、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left(
\overline{\mathbb{R} }\right) =\mathfrak{B}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left(
\overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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以上の命題より、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

 

空集合と実数空間はボレル集合

空集合\(\phi \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)はともにボレル集合です。

命題(空集合と拡大実数系はボレル集合)
ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は、\begin{eqnarray*}\phi &\in &\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \\
\overline{\mathbb{R} } &\in &\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす。

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開集合はボレル集合

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の任意の開集合はボレル集合です。

命題(開集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

例(実数空間と空集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)や空集合\(\phi \)はいずれも\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\overline{\mathbb{R} }\)と\(\phi \)はともに\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であるため、上の命題より、これらはやはりボレル集合です。
例(任意個の開集合の和集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限合併、可算合併、非可算合併のいずれについても閉じています。つまり、任意個の開集合の和集合もまた開集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の開集合の和集合もまたボレル集合です。
例(可算個の開集合の共通部分はルベーグ可測)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限交叉について閉じていますが、可算交叉や非可算交叉については閉じていません。つまり、有限個の開集合の共通部分は開集合ですが、可算個や非可算個の開集合の共通部分は開集合であるとは限りません。ただし、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は可算交叉について閉じているため、たとえ可算個の開集合の共通部分が開集合ではなくても、それがボレル集合であることは保証されます。

 

閉集合はボレル集合

\(\overline{\mathbb{R} }\)上の任意の閉集合はボレル集合です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

命題(閉集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(拡大実数系と空集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)や空集合\(\phi \)はいずれも\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合であることを先に示しました。別の角度から再確認すると、\(\overline{\mathbb{R} }\)と\(\phi \)はともに\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合であるため、上の命題より、これらはやはりボレル集合です。
例(任意個の閉集合の共通部分はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限交叉、可算交叉、非可算交叉のいずれについても閉じています。つまり、任意個の閉集合の共通部分もまた閉集合であるということです。したがって、上の命題より、任意個の閉集合の共通部分もまたボレル集合です。
例(可算個の閉集合の和集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限合併について閉じていますが、可算合併や非可算合併については閉じていません。つまり、有限個の閉集合の和集合は開集合ですが、可算個や非可算個の閉集合の和集合は閉集合であるとは限りません。ただし、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は可算合併について閉じているため、たとえ可算個の閉集合の和集合が閉集合ではなくても、それがボレル集合であることは保証されます。
例(有限集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の有限集合\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{n}\right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,\cdots ,n\right) \)について、1点集合\(\left\{x_{k}\right\} \)はいずれも\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合であるため、先の命題よりこれはボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限合併について閉じているため、有限個のボレル集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)はボレル集合です。しかも、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)も有限合併について閉じているため、有限個の閉集合\(\left\{x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)は閉集合です。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の有限集合はボレル集合かつ閉集合です。
例(可算集合はボレル集合)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の可算集合\(\left\{x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)について考えます。任意の\(k\ \left( =1,2,\cdots\right) \)について、1点集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)はいずれも\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合であるため、先の命題よりこれはボレル集合です。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は可算合併について閉じているため、可算個のボレル集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)はボレル集合です。一方、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は可算合併について閉じていないため、可算個の閉集合\(\left\{x_{k}\right\} \)の和集合として表される\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)は閉集合であるとは限りません。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の可算集合はボレル集合ですが閉集合であるとは限りません。

 

ボレル集合族は近傍系から生成される

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数ですが、実際には、ボレル集合\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するすべての開集合は必要なく、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の部分集合から\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を定義することができます。順番に解説します。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において、有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義され、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と定義され、負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義されます。点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。また、\(\overline{\mathbb{R} }\)上に存在するすべての点のすべての近傍を集めることにより得られる集合族を\(\overline{\mathbb{R} }\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}\mathcal{N}=\left\{ N\left( a\right) \ |\ a\in \overline{\mathbb{R} }\right\}
\end{equation*}で表記します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)上に存在するすべての点のすべての近傍は\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であるため、\(\overline{\mathbb{R} }\)の近傍系\(\mathcal{N}\)と開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つため、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)からボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を定義した際の議論と同様の議論を近傍系\(\mathcal{N}\)に対して行います。具体的には以下の通りです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)のベキ集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)がそうであるように、近傍系\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{N}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{N}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)のベキ集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。その上で、この集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathcal{N}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数(smallest \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{N}\))と呼びます。

その名の通り、この集合族\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。

命題(近傍系から生成される最小のσ-代数)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の近傍系\(\mathcal{N}\)が与えられたとき、\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めて得られる\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族を\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)とする。その上で、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}と定義する。\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の要素であるとともに、\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の任意の要素の部分集合である。すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \exists \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\mathfrak{A}_{\lambda } \\
&&\left( b\right) \ \forall \lambda \in \Lambda :\sigma \left( \mathcal{N}\right) \subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。

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以上の命題より、\(\sigma\left( \mathcal{N}\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

実は、この集合族\(\sigma\left( \mathcal{N}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)一致することが保証されます。したがって、ボレル集合を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するすべての開集合は必要ではなく、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の部分集合である近傍系\(\mathcal{N}\)があれば十分です。ボレル集合族は有界開区間から定義可能であるということです。

命題(ボレル集合は近傍系から生成される最小のσ-代数)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の近傍系\(\mathcal{N}\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は近傍系\(\mathcal{N}\)から生成されることが明らかになりました。実は、\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を生成する際には近傍系\(\mathcal{N}\)に属するすべての近傍は必要なく、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍があれば十分です。つまり、正の無限大の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{eqnarray*}N\left( +\infty \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) \
|\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( \varepsilon ,+\infty \right] \ |\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、以下の関係\begin{equation*}
\sigma \left( N\left( +\infty \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(ボレル集合は正の無限大の近傍系から生成される最小のσ-代数)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において正の無限大の近傍系\(N\left( +\infty \right) \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( N\left( +\infty \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍から生成されることが明らかになりました。\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍から生成することもできます。つまり、負の無限大の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{eqnarray*}N\left( -\infty \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) \
|\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ [-\infty ,\varepsilon )\ |\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、以下の関係\begin{equation*}
\sigma \left( N\left( -\infty \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(ボレル集合は負の無限大の近傍系から生成される最小のσ-代数)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において負の無限大の近傍系\(N\left( -\infty \right) \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( N\left( -\infty \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍や負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍から生成されることが明らかになりました。\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限な実数を中心とする近傍から生成することもできます。つまり、有限な実数の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{eqnarray*}N\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge \varepsilon >0\right\} \\
&=&\left\{ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge \varepsilon >0\right\}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、以下の関係\begin{equation*}
\sigma \left( N\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(ボレル集合は実数の近傍系から生成される最小のσ-代数)
拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において有限な実数の近傍系\(N\left( \mathbb{R} \right) \)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\sigma \left( N\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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実数空間上のボレル集合と拡大実数系上のボレル集合の関係

実数空間上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は拡大実数系上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の部分集合です。

命題(実数空間上のボレル集合族は拡大実数系上のボレル集合族の部分集合)
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、以下の関係\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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\(\mathbb{R} \)との共通部分が実数空間上のボレル集合になるような集合を集めれば拡大実数系上のボレル集合族が得られます。

命題(拡大実数系上のボレル集合族の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、以下の関係\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\left\{ A\subset \overline{\mathbb{R} }\ |\ A\cap \mathbb{R} \in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right\}
\end{equation*}が成立する。

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拡大実数系上のボレル集合と\(\mathbb{R} \)の共通部分を集めれば実数空間上のボレル集合族が得られます。

命題(実数空間上のボレル集合族の特徴づけ)
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、以下の関係\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ A\cap \mathbb{R} \ |\ A\in \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right\}
\end{equation*}が成立する。

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関連知識

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実数空間における基本開集合系(開基)と第2可算公理

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ボレル測度の定義

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拡大実数系における開集合・開集合系

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ユークリッド空間における基本開集合系(開基)と第2可算公理

ユークリッド空間において、開集合系の部分集合族が存在し、任意の開集合がその部分集合族に属する開集合の和集合として表現できる場合、その部分集合族を開基と呼びます。また、可算集合であるような開基が存在する場合、第2可算公理が成り立つと言います。

距離空間と第2可算公理

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距離空間とリンデレーフの被覆定理

距離空間において任意の開被覆が可算部分被覆を持つ場合、そのような距離空間をリンデレーフ空間と呼びます。距離空間がリンデレーフ空間であることと、その距離空間が第2可算公理を満たすことは必要十分です。