拡大実数系上のボレル集合

拡大実数系上のボレル集合

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ \pm \infty \right\} \)において、有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義され、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と定義され、負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義されます。点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)が\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であることは、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists B\in N\left( a\right) :B\subset A
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。点の近傍を踏まえると、これは、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \forall a\in A\cap \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\subset A \\
&&\left( b\right) \ +\infty \in A\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :(\varepsilon ,+\infty ]\subset A \\
&&\left( c\right) \ -\infty \in A\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :[-\infty ,\varepsilon )\subset A
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことと必要十分です。\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合をすべて集めることにより得られる集合族を\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系と呼び、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}で表記します。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数は存在するのでしょうか。具体例を挙げると、\(\overline{\mathbb{R} }\)のベキ集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は明らかにそのような集合族です。この例から明らかであるように、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{B}_{\lambda }\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{B}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、拡大実数系のべき集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。この集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これをボレル集合族（family of Borel sets）と呼びます。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の要素をボレル集合（Borel set）と呼びます。集合\(A\subset \overline{\mathbb{R} }\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{eqnarray*}A\in \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) &\Leftrightarrow &A\in \bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{B}_{\lambda }\quad \because \text{ボレル集合族の定義} \\
&\Leftrightarrow &\forall \lambda \in \Lambda :A\in \mathfrak{B}_{\lambda
}\quad \because \text{共通部分の定義}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、ボレル集合\(A\)と、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)をそれぞれ任意に選んだとき、\(A\)が\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)の要素になることが保証されます。

集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の要素である\(\sigma \)-代数\(\mathfrak{B}_{\lambda }\)は\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族であるため、\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda\in \Lambda }\)の共通部分として定義されるボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)もまた\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族です。したがって、その要素であるボレル集合は\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合です。共通部分の定義より、\begin{equation*}\forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は自身を定義するもととなった集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属するすべての集合の部分集合です。さらに、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)自身もまた集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素になります。つまり、\begin{equation*}\exists \lambda \in \Lambda :\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\mathfrak{B}_{\lambda }
\end{equation*}が成り立ちます。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)自身もまた\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数であるということです。

以上の事実は、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)が集合族\(\left\{ \mathfrak{B}_{\lambda}\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)に属する集合の中でも最小の集合であることを意味します。ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるということです。このような事情を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（minimal \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)）やボレル\(\sigma \)-代数（Borel \(\sigma \)-algebra）などと呼ぶ場合もあります。

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

空集合と拡大実数系はボレル集合

空集合\(\phi \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)はともにボレル集合です。

開集合はボレル集合

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。したがって、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の任意の開集合はボレル集合です。

閉集合はボレル集合

\(\overline{\mathbb{R} }\)上の任意の閉集合はボレル集合です。つまり、閉集合系\(\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には、\begin{equation*}\mathcal{A}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}という関係が成り立ちます。

ボレル集合族は近傍系から生成される

ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数ですが、実際には、ボレル集合\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するすべての開集合は必要なく、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の部分集合から\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を定義できます。順番に解説します。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において、有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義され、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と定義され、負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義されます。点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。また、\(\overline{\mathbb{R} }\)上のすべての点のすべての近傍を集めることにより得られる集合族を\(\overline{\mathbb{R} }\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}\mathcal{N}=\bigcup_{a\in \overline{\mathbb{R} }}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。

\(\overline{\mathbb{R} }\)上に存在するすべての点のすべての近傍は\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であるため、\(\overline{\mathbb{R} }\)の近傍系\(\mathcal{N}\)と開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の間には以下の関係\begin{equation*}\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。また、ボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を部分集合として持つため、\begin{equation*}\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、\begin{equation*}
\mathcal{N}\subset \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset \mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。

開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)からボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を定義した際の議論と同様の議論を近傍系\(\mathcal{N}\)に対して適用します。具体的には以下の通りです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)のベキ集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)がそうであるように、近傍系\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ\(\sigma \)-代数が存在します。そこで、\(\mathcal{N}\)を部分集合族として持つ\(\sigma \)-代数をすべて集めることにより得られる\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族を、\begin{equation*}\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }=\left\{
\mathfrak{A}_{\lambda }\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\ |\ \forall \lambda \in \Lambda :\mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\mathcal{N}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }\text{を満たす}\sigma \text{-代数}\right\}
\end{equation*}で表記します。定義より、任意の\(\lambda \in \Lambda \)について、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \mathfrak{A}_{\lambda }\text{は}\sigma \text{-代数である} \\
&&\left( b\right) \ \mathcal{N}\subset \mathfrak{A}_{\lambda }
\end{eqnarray*}がともに成り立ちます。先の議論より、拡大実数系のベキ集合\(2^{\overline{\mathbb{R} }}\)は\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in \Lambda }\)の要素です。この集合族\(\left\{ \mathfrak{A}_{\lambda }\right\} _{\lambda \in\Lambda }\)の共通部分を、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{N}\right) =\bigcap\limits_{\lambda \in \Lambda }\mathfrak{A}_{\lambda }
\end{equation*}で表記し、これを\(\mathcal{N}\)から生成される最小の\(\sigma \)-代数（smallest \(\sigma \)-algebra generated by \(\mathcal{N}\)）と呼びます。

その名の通り、この集合族\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\mathcal{N}\)を部分集合として持つ最小の\(\sigma \)-代数です。

\(\overline{\mathbb{R} }\)の近傍系\(\mathcal{N}\)から生成される\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は\(\sigma \)-代数であることが明らかになりました。したがって、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)は空集合を要素として持つとともに、補集合と可算合併について閉じています。これらの性質を利用すると、一般の\(\sigma \)-代数と同様、\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)もまた可算交叉や差集合、対称差についても閉じていることを示すことができます。

この集合族\(\sigma \left( \mathcal{N}\right) \)とボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は一致することが保証されます。したがって、ボレル集合を定義する際には開集合系\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するすべての開集合は必要ではなく、\(\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の部分集合である近傍系\(\mathcal{N}\)があれば十分です。ボレル集合族は有界開区間から定義可能であるということです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は近傍系\(\mathcal{N}\)から生成されることが明らかになりました。実は、\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を生成する際には近傍系\(\mathcal{N}\)に属するすべての近傍は必要なく、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍があれば十分です。つまり、正の無限大の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{eqnarray*}N\left( +\infty \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) \
|\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ \left( \varepsilon ,+\infty \right] \ |\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、以下の関係\begin{equation*}
\sigma \left( N\left( +\infty \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍から生成されることが明らかになりました。\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍から生成することもできます。つまり、負の無限大の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{eqnarray*}N\left( -\infty \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) \
|\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\} \\
&=&\left\{ [-\infty ,\varepsilon )\ |\ \varepsilon \in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、以下の関係\begin{equation*}
\sigma \left( N\left( -\infty \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍や負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍から生成されることが明らかになりました。\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は有限な実数を中心とする近傍から生成することもできます。つまり、有限な実数の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を、\begin{eqnarray*}N\left( \mathbb{R} \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge \varepsilon >0\right\} \\
&=&\left\{ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \ |\ a\in \mathbb{R} \wedge \varepsilon >0\right\}
\end{eqnarray*}と表記するのであれば、以下の関係\begin{equation*}
\sigma \left( N\left( \mathbb{R} \right) \right) =\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

実数空間上のボレル集合と拡大実数系上のボレル集合の関係

実数空間上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は拡大実数系上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)の部分集合です。

\(\mathbb{R} \)との共通部分が実数空間上のボレル集合になるような集合を集めれば拡大実数系上のボレル集合族が得られます。

拡大実数系上のボレル集合と\(\mathbb{R} \)の共通部分を集めれば実数空間上のボレル集合族が得られます。