拡大実数系における開集合・開集合系

拡大実数系における開集合・開集合系の定義

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)において、有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義され、正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と定義され、負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と定義されます。点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めることにより得られる集合族を点\(a\)の近傍系と呼び、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記します。

さて、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)に属するそれぞれの点\(a\)に対して、その点を中心とする近傍の中に\(A\)の部分集合であるものが存在するならば、すなわち、\begin{equation*}\forall a\in A,\ \exists B\in N\left( a\right) :B\subset A
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(A\)を\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合（open set on \(\overline{\mathbb{R} }\)）と呼びます。点の近傍を踏まえると、これは、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall a\in A\cap \mathbb{R} ,\ \exists \varepsilon >0:\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\subset A \\
&&\left( b\right) \ +\infty \in A\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :(\varepsilon ,+\infty ]\subset A \\
&&\left( c\right) \ -\infty \in A\Rightarrow \exists \varepsilon \in \mathbb{R} :[-\infty ,\varepsilon )\subset A
\end{eqnarray*}がすべて成り立つことと必要十分です。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合をすべて集めることにより得られる集合族を\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系（system of opensets）と呼び、これを、\begin{equation*}
\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}で表記します。開集合の定義より、\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \Leftrightarrow \forall a\in A,\ \exists B\in N\left( a\right)
:B\subset A
\end{equation*}が成り立ちます。

開集合ではない集合

\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合\(A\)が開集合ではないこととは、開集合の定義の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}\exists a\in A,\ \forall B\in N\left( a\right) :B\not\subset A
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、\(A\)の少なくとも1つの要素\(a\)について、\(a\)を中心とする任意の近傍が\(A\)の部分集合にならないということです。

先の命題は、\begin{equation*}
\exists a\in A,\ \forall B\in N\left( a\right) :B\cap A^{c}\not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。つまり、\(A\)が開集合ではないこととは、\(A\)の少なくとも1つの要素\(a\)について、\(a\)を中心とする任意の近傍が\(A\)の補集合と交わることを意味します。

拡大実数系における開集合の代替的な定義

区間\(\left[ -1,1\right] \)と拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の間には同相写像\(f:\mathbb{R} \supset \left[ -1,1\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が存在するため、その逆写像\(f^{-1}:\overline{\mathbb{R} }\rightarrow \left[ -1,1\right] \)を利用することにより、拡大実数からなる順序対\(\left(x,y\right) \in \overline{\mathbb{R} }\times \overline{\mathbb{R} }\)に対して、以下の実数\begin{equation*}d\left( x,y\right) =\left\vert f^{-1}\left( x\right) -f^{-1}\left( y\right)
\right\vert
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
d:\overline{\mathbb{R} }\times \overline{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。その上で、以下の組\begin{equation*}
\left( \overline{\mathbb{R} },d\right)
\end{equation*}を定義すれば、これはユークリッド距離を導入した距離空間\(\left[ -1,1\right] \)と同相な距離空間になります。

したがって、距離空間\(\left[ -1,1\right] \)上の開集合\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( \left[ -1,1\right] \right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、同相写像\(f\)による像をとれば、それは拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合になります。つまり、\begin{equation*}f\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{equation*}
f\left( \mathcal{O}\left( \left[ -1,1\right] \right) \right) \subset
\mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。

逆に、拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合\begin{equation*}A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}を任意に選んだとき、同相写像の逆像\(f^{-1}\)による像をとれば、それは距離空間\(\left[ -1,1\right] \)上の開集合になります。つまり、\begin{equation*}f^{-1}\left( A\right) \in \mathcal{O}\left( \left[ -1,1\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、以下の関係\begin{equation*}
f^{-1}\left( \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \subset \mathcal{O}\left( \left[ -1,1\right] \right)
\end{equation*}が成り立ちます。

拡大実数系における開集合系の性質

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を特徴づける1つ目の性質は、それが\(\overline{\mathbb{R} }\)自身や空集合\(\phi \)を要素として持つということです。言い換えると、\(\overline{\mathbb{R} }\)と\(\phi \)はいずれも\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合であるということです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を特徴づける2つ目の性質は、\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属する有限個の集合を任意に選んだとき、それらの共通部分もまた\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するということです。言い換えると、有限個の任意の開集合の共通部分もまた開集合になるということです。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)の開集合系\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を特徴づける3つ目の性質は、\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属する任意個の集合を任意に選んだとき、それらの和集合もまた\(O\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)に属するということです。言い換えると、任意個の任意の開集合の和集合もまた開集合になるということです。

上の命題中の集合\(\Lambda \)は任意です。\(\Lambda \)として有限集合を採用した場合、上の命題の主張は「有限個の開集合の和集合は開集合」というものになります。一方、\(\Lambda \)として可算集合や非可算集合などの無限集合を採用した場合、上の命題の主張は「無限個の開集合の和集合は開集合」という主張になります。先に例を通じて確認したように、無限個の開集合の共通部分は開集合になるとは限りません。一方、無限個の開集合の和集合は開集合になることが保証されます。

拡大実数系上の開集合と実数空間上の開集合の関係

拡大実数系上の開集合と実数空間上の開集合の間には以下の関係が成り立ちます。

上の命題より、以下の関係\begin{equation*}
\mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) =\left\{ A\cap \mathbb{R} \ |\ A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right\}
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(B\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}B\in \mathcal{O}\left( \mathbb{R} \right) :\exists A\in \mathcal{O}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :B=A\cap \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。つまり、\(\overline{\mathbb{R} }\)上の開集合と\(\mathbb{R} \)の共通部分をとれば\(\mathbb{R} \)上の開集合が得られます。

演習問題