拡大実数系における点の近傍・近傍系

拡大実数系上の点の近傍

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上には有限な実数と正負の無限大が存在しますが、それぞれの近傍を以下のように定義します。

拡大実数系\(\overline{\mathbb{R} }\)上に存在する有限な実数\(a\in \mathbb{R} \)を中心とする近傍は、何らかの正の実数\(\varepsilon >0\)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( a\right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ a-\varepsilon <x<a+\varepsilon \right\} \\
&=&\left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と表現される\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合として定義されます。つまり、有限な実数を中心とする近傍は有界開区間と実質的に等しい概念です。

正の無限大\(+\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ \varepsilon <x\leq +\infty \right\} \\
&=&\left( \varepsilon ,+\infty \right] \end{eqnarray*}と表現される\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合として定義されます。つまり、正の無限大を中心とする近傍は無限左半開区間と実質的に等しい概念です。

負の無限大\(-\infty \)を中心とする近傍は、何らかの実数\(\varepsilon \in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \overline{\mathbb{R} }\ |\ -\infty \leq x<\varepsilon \right\} \\
&=&\left[ -\infty ,\varepsilon \right)
\end{eqnarray*}と表現される\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合として定義されます。つまり、負の無限大を中心とする近傍は無限右半開区間と実質的に等しい概念です。

有限な実数\(a\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( a\right) \)において\(\varepsilon \)は正の実数である一方で、正の無限大を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) \)や負の無限大を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) \)において\(\varepsilon \)は正の実数に限定されない実数であることに注意してください。

拡大実数系上の点の近傍系

点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍をすべて集めてできる集合を、\begin{equation*}N\left( a\right)
\end{equation*}で表記し、これを点\(a\)の近傍系（neighborhood system of \(a\)）と呼びます。具体的には、\(a\in \mathbb{R} \)の場合には、\begin{eqnarray*}N\left( a\right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( a\right) \ |\
0<\varepsilon <+\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( a-\varepsilon ,a+\varepsilon \right) \ |\ 0<\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}である一方で、正の無限大\(+\infty \)の近傍系は、\begin{eqnarray*}N\left( +\infty \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( +\infty \right) \
|\ -\infty <\varepsilon <+\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left( \varepsilon ,+\infty \right] \ |\ -\infty <\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}であり、負の無限大\(-\infty \)の近傍系は、\begin{eqnarray*}N\left( -\infty \right) &=&\left\{ N_{\varepsilon }\left( -\infty \right) \
|\ -\infty <\varepsilon <+\infty \right\} \\
&=&\left\{ \left[ -\infty ,\varepsilon \right) \ |\ -\infty <\varepsilon
<+\infty \right\}
\end{eqnarray*}となります。

点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)を任意に選んだとき、その点\(a\)を中心とする近傍はいずれもその中心を要素として持ちます。したがって、点\(a\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の共通部分は\(a\)を要素として持ちます。つまり、\begin{equation*}a\in \bigcap N\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。加えて、点\(a\)を中心とするすべての近傍が共有する要素は\(a\)だけに限定されます。したがって、\begin{equation*}\bigcap N\left( a\right) =\left\{ a\right\}
\end{equation*}が成り立ちます。

点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)の近傍系\(N\left( a\right) \)の要素、すなわち点\(a\)の近傍を2つ任意に選んだとき、双方の部分集合であるような点\(a\)の近傍が存在することが保証されます。

拡大実数系の近傍系

点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)に応じて中心が異なる様々な近傍系\(N\left( a\right) \)が得られます。そこで、\(\overline{\mathbb{R} }\)上のすべての点の近傍系からなる集合族を、\begin{equation*}N=\left\{ N\left( a\right) \ |\ a\in \overline{\mathbb{R} }\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(\overline{\mathbb{R} }\)の近傍系（neighborhood system of \(\overline{\mathbb{R} }\)）と呼びます。

点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)を任意に選んだ上で、その点\(a\)を中心とする近傍\(A\in N\left( a\right) \)を任意にとります。この近傍に属する点\(b\in A\)を任意に選んだとき、この点\(b\)の近傍の中に、先の近傍\(A\)の部分集合であるようなものが存在することが保証されます。つまり、\begin{equation*}\forall a\in \overline{\mathbb{R} },\ \forall A\in N\left( a\right) ,\ \forall b\in A,\ \exists B\in N\left(
b\right) :B\subset A
\end{equation*}が成り立つということです。