拡大実数値関数の片側極限（右側極限・左側極限）

拡大実数関数の右側極限

実数を値としてとり得る実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が有限な実数へ右側収束することとは、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)へ限りなく近づくにつれて関数の値\(f\left( x\right) \)が有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

一方、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が正の無限大へ発散することとは、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)へ限りなく近づくにつれて関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも大きくなることを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta \Rightarrow
\lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。

また、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が負の無限大へ発散することとは、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(a\)より大きい値をとりながら\(a\)へ限りなく近づくにつれて関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも小さくなることを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta \Rightarrow
f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}となります。

では、拡大実数系もしくはその部分集合上に定義され、拡大実数を値としてとり得る関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a+\)の場合に\(f\)が右側収束することをどのように定義すればよいでしょうか。\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left(x\right) \)が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ場合には、やはり、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に収束するものと考えます。一方、拡大実数系\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\end{equation*}では正負の無限大\(\pm \infty \)が体系の中に含まれているため、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく大きくなる場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に正の無限大へ発散するものとみなさず、\(x\rightarrow a+\)の場合に正の無限大へ収束するものとみなします。同様に、\(x\rightarrow a+\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく小さくなる場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に負の無限大へ発散するものとみなさず、\(x\rightarrow a\)の場合に負の無限大へ収束するものとみなします。以上を踏まえた上で、拡大実数値関数の収束可能性を以下のように定義します。

拡大実数関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)において以下の3つの条件の中のどれかを満たす場合、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に右側収束する（converge as \(x\) approaches \(a\) from the right）と言います。

1つ目のケースは、以下の条件\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ場合です。すなわち、\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
0<x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に有限な実数\(b\)へ右側収束すると言います。

2つ目のケースは、以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta \Rightarrow
\lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に正の無限大\(+\infty \)へ右側収束すると言います。

3つ目のケースは、以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( 0<x-a<\delta
\Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a+\)の場合に負の無限大\(-\infty \)へ右側収束すると言います。

以上を踏まえた上で、拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)において以下の条件\begin{equation*}\exists b\in \overline{\mathbb{R} }:\lim_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =b
\end{equation*}を満たす場合、以上の条件を満たす拡大実数\(b\)を\(x\rightarrow a+\)の場合の\(f\)の右側極限（right-hand limit）と呼びます。

特に、\(f\)が負の無限大\(-\infty \)において定義されている場合、\(x\rightarrow \left( -\infty\right) +\)の場合の右側極限を、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow -\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \left(
-\infty \right) +}f\left( x\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。ちなみに、\(f\)が正の無限大\(+\infty \)において定義されている場合、\(+\infty \)より大きい拡大実数は存在しないため、\(x\rightarrow \left( +\infty \right)+\)の場合の右側極限を考えることはできません。

以上の定義では、拡大実数値関数の収束先が有限な実数である場合と無限大である場合とでは要求されている条件が異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。そのような作業は煩雑であるため、以上の3通りのパターンを1つの条件として包括的に表現できれば望ましいと言えます。詳細は後述します。

拡大実数関数の左側極限

実数を値としてとり得る実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が有限な実数へ左側収束することとは、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)へ限りなく近づくにつれて関数の値\(f\left( x\right) \)が有限な実数\(b\)へ限りなく近づくことを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
-\delta <x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。

一方、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が正の無限大へ発散することとは、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)へ限りなく近づくにつれて関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも小さくなることを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-a<0\Rightarrow
\lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}となります。

また、実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と点\(a\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が負の無限大へ発散することとは、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つこととは、\(x\)が\(a\)より小さい値をとりながら\(a\)へ限りなく近づくにつれて関数の値\(f\left( x\right) \)がいくらでも小さくなることを意味します。以上のことを厳密に表現すると、\begin{equation*}\forall \Lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-a<0\Rightarrow
f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}となります。

では、拡大実数系もしくはその部分集合上に定義され、拡大実数を値としてとり得る関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)と点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、\(x\rightarrow a-\)の場合に\(f\)が左側収束することをどのように定義すればよいでしょうか。\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left(x\right) \)が有限な実数へ収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ場合には、やはり、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に収束するものと考えます。一方、拡大実数系\begin{equation*}\overline{\mathbb{R} }=\mathbb{R} \cup \left\{ +\infty ,-\infty \right\}
\end{equation*}では正負の無限大\(\pm \infty \)が体系の中に含まれているため、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく大きくなる場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に正の無限大へ発散するものとみなさず、\(x\rightarrow a-\)の場合に正の無限大へ収束するものとみなします。同様に、\(x\rightarrow a-\)の場合に関数の値\(f\left( x\right) \)が限りなく小さくなる場合には、すなわち、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に負の無限大へ発散するものとみなさず、\(x\rightarrow a\)の場合に負の無限大へ収束するものとみなします。以上を踏まえた上で、拡大実数関数の収束可能性を以下のように定義します。

拡大実数関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)において以下の3つの条件の中のどれかを満たす場合、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に右側収束する（converge as \(x\) approaches \(a\) from the left）と言います。

1つ目のケースは、以下の条件\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}が成り立つ場合です。すなわち、\begin{equation*}
\exists b\in \mathbb{R} ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
-\delta <x-a<0\Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -b\right\vert
<\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に有限な実数\(b\)へ左側収束すると言います。

2つ目のケースは、以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \lambda \in \mathbb{R} ,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta <x-a<0\Rightarrow
\lambda <f\left( x\right) \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a-\)の場合に正の無限大\(+\infty \)へ左側収束すると言います。

3つ目のケースは、以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =-\infty
\end{equation*}が成り立つ場合です。すなわち、\begin{equation*}
\forall \Lambda >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left( -\delta
<x-a<0\Rightarrow f\left( x\right) <\Lambda \right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(x\rightarrow a\)の場合に負の無限大\(-\infty \)へ左側収束すると言います。

以上を踏まえた上で、拡大実数値関数\(f:\overline{\mathbb{R} }\supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が点\(a\in \overline{\mathbb{R} }\)において以下の条件\begin{equation*}\exists b\in \overline{\mathbb{R} }:\lim_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) =b
\end{equation*}を満たす場合、以上の条件を満たす拡大実数\(b\)を\(x\rightarrow a-\)の場合の\(f\)の左側極限（left-hand limit）と呼びます。

特に、\(f\)が正の無限大\(+\infty \)において定義されている場合、\(x\rightarrow \left( +\infty\right) -\)の場合の左側極限を、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow \left(
+\infty \right) -}f\left( x\right)
\end{equation*}と表記できるものと定めます。ちなみに、\(f\)が負の無限大\(-\infty \)において定義されている場合、\(-\infty \)より小さい拡大実数は存在しないため、\(x\rightarrow \left( -\infty \right)-\)の場合の左側極限を考えることはできません。

以上の定義では、拡大実数値関数の収束先が有限な実数である場合と無限大である場合とでは要求されている条件が異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。そのような作業は煩雑であるため、以上の3通りのパターンを1つの条件として包括的に表現できれば望ましいと言えます。詳細は後述します。

拡大実数値関数の右側極限と左側極限は一致するとは限らない

拡大実数値関数の右側極限と左側極限は一致するとは限りません。以下の例より明らかです。

拡大実数値関数の片側収束可能性の包括的な表現

拡大実数値関数が右側収束するために満たすべき条件は、収束先が有限な実数である場合と無限大である場合とでは異なるため、ケースに応じて条件を使い分ける必要があります。ただ、拡大実数値関数が右側収束することを以下のように統一的な形で表現することもできます。

左側収束可能性についても同様の命題が成り立ちます。

演習問題