拡大実数値ルベーグ可測関数
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)と、拡大実数系と拡大実数系上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。つまり、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)上に存在する実数\(x\in X\)を、もう一方の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)上に存在する拡大実数\(f\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }\)へ変換して表現する状況を想定するということです。
変換後の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)において可測な事象、すなわちボレル集合\(B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を任意に選びます。もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてこの集合\(B\)に対応する事象は、関数\(f\)のもとでの集合\(B\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\end{equation*}に他なりません。したがって、変換後の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)において可測な集合\(B\)が与えられたとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてこの集合に対応する集合が可測であるためには、以下の条件\begin{equation*}f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が満たされている必要があります。
以上を踏まえた上で、変換後の可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)において可測な集合\(B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を任意に選んだ場合、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてこの集合\(B\)の逆像が可測であることが保証されるならば、すなわち、以下の条件\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つ場合には、この関数はルベーグ可測(Lebesgue measurable)であるとか可測である(measurable)であるなど言います。また、ルベーグ可測な拡大実数値関数を拡大実数値ルベーグ可測関数(extended real valued Lebesgue measurable function)や拡大実数値可測関数(extended real valued measurable function)などと呼びます。問題としている関数が拡大実数値関数であることが文脈から明らかである場合、拡大実数値ルベーグ可測関数をシンプルにルベーグ可測関数(Lebesgue measurable function)と呼ぶこともできます。
\end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)がルベーグ可測であることは、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) :\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in B\right\} \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことを意味します。
ルベーグ可測関数であるための必要十分条件
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は\(\sigma \)-代数であるため、\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}が成り立ちます。さらに、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}
\end{equation*}が成り立つため、\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を生成する\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族が存在することが明らかになりました。
以上を踏まえた上で、ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)を生成する\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)を任意に選びます。つまり、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}を満たす\(\mathcal{A}\)を選ぶということです。先の議論より、\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)自身は\(\mathcal{A}\)の具体例の1つです。その上で、この集合族\(\mathcal{A}\)の要素\(B\in \mathcal{A}\)を任意に選んだとき、もとの可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)においてその逆像が可測であることは、すなわち、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall B\in \mathcal{A}:\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \in B\right\}
\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことは、拡大実数値関数\(X:\Omega\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)がルベーグ可測であるための必要十分条件になります。
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がルベーグ可測関数であるための必要十分条件である。
区間を用いたルベーグ可測関数の表現
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。先の命題より、以下の条件\begin{equation*}\sigma \left( \mathcal{A}\right) =\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right)
\end{equation*}を満たす何らかの集合族\(\mathcal{A}\subset 2^{\overline{\mathbb{R} }}\)について、\begin{equation*}\forall B\in \mathcal{A}:f^{-1}\left( B\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つならば、\(f\)はルベーグ可測関数になります。
ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \)は様々な区間族から生成可能です。具体例を挙げると、以下の区間族\begin{eqnarray*}\mathcal{A}_{1} &=&\left\{ \left[ -\infty ,x\right] \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{2} &=&\left\{ \left[ -\infty ,x\right) \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{3} &=&\left\{ \left[ x,+\infty \right] \ |\ x\in \mathbb{R} \right\} \\
\mathcal{A}_{4} &=&\left\{ \left( x,+\infty \right] \ |\ x\in \mathbb{R} \right\}
\end{eqnarray*}などに関して、\begin{equation*}
\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{1}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{2}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{3}\right) =\sigma \left( \mathcal{A}_{4}\right)
\end{equation*}が成り立つため、以上の事実と先の命題を利用することにより、ルベーグ可測関数を以下のように様々な形で表現できます。
&&\left( b\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left[ -\infty ,x\right] \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }\text{が成り立つ} \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left[ -\infty ,x\right) \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }\text{が成り立つ} \\
&&\left( d\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left[ x,+\infty \right] \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }\text{が成り立つ} \\
&&\left( e\right) \ \forall x\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( \left( x,+\infty \right] \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }\text{が成り立つ}
\end{eqnarray*}はお互いに必要十分である。
\end{equation*}を定めるものとします。有界閉区間はルベーグ可測であるため\(\left[ 0,1\right] \in \mathfrak{M}_{\mu }\)です。また、\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( (c,+\infty ]\right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\
c<f\left( x\right) \leq +\infty \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ c<x\leq +\infty \right\} \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap (c,+\infty ] \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left[ 0,1\right] & \left( if\ c<0\right) \\
\left( c,1\right) & \left( if\ 0\leq c<1\right) \\
\left\{ 1\right\} & \left( if\ c=1\right) \\
\phi & \left( if\ c>1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となりますが、これらはいずれもルベーグ可測であるため、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( (c,+\infty ]\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より\(f\)はルベーグ可測です。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。有界閉区間はルベーグ可測であるため\(\left[ 0,1\right] \in \mathfrak{M}_{\mu }\)です。また、\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( (c,+\infty ]\right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\
c<f\left( x\right) \leq +\infty \right\} \quad \because \text{逆像の定義} \\
&=&\left\{ x\in \left( 0,1\right] \ |\ c<\frac{1}{x}\leq +\infty \right\}
\cup \left\{ x\in 0\ |\ c<-\infty \leq +\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left( 0,1\right] \ |\ c<\frac{1}{x}\leq +\infty \right\}
\cup \left\{ 0\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left( 0,1\right] \cup \left\{ 0\right\} & \left( if\ c\leq 1\right) \\
\left( 0,\frac{1}{c}\right] \cup \left\{ 0\right\} & \left( if\ 1<c\right)
\end{array}\right. \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left[ 0,1\right] & \left( if\ c\leq 1\right) \\
\left[ 0,\frac{1}{c}\right] & \left( if\ 1<c\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となりますが、これらはいずれもルベーグ可測であるため、\begin{equation*}
\forall c\in \mathbb{R} :f^{-1}\left( (c,+\infty ]\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって先の命題より\(f\)はルベーグ可測です。
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとします。拡大実数\(c\in \overline{\mathbb{R} }\)を任意に選べば、\(f\)による\(c\)の逆像が、\begin{equation*}f^{-1}\left( c\right) =\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) =c\right\}
\end{equation*}として定まりますが、これがルベーグ可測になること保証されます。つまり、\begin{equation*}
\forall c\in \overline{\mathbb{R} }:f^{-1}\left( c\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つということです。
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)はルベーグ可測です。\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) =c\right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ x=c\right\} \\
&=&\left[ 0,1\right] \cap \left\{ c\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\left\{ c\right\} & \left( if\ c\in \left[ 0,1\right] \right) \\
\phi & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となりますが、これらはルベーグ可測です。また、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) =+\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ x=+\infty \right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となりますが、これはルベーグ可測です。また、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) =-\infty \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ x=-\infty \right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}となりますが、これはルベーグ可測です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\begin{array}{cl}
\frac{1}{x} & \left( if\ 0<x\leq 1\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように\(f\)はルベーグ可測です。\(c\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( c\right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) =c\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\phi & \left( if\ c<1\right) \\
\left\{ \frac{1}{c}\right\} & \left( if\ c\geq 1\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}ですが、これはルベーグ可測です。また、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( +\infty \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) =+\infty \right\} \\
&=&\left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これはルベーグ可測です。また、\begin{eqnarray*}
f^{-1}\left( -\infty \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \ |\ f\left(
x\right) =-\infty \right\} \\
&=&\phi
\end{eqnarray*}ですが、これはルベーグ可測です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
以上の諸命題を利用すると、ルベーグ可測関数を以下のように表現することもできます。
\left( b\right) \ f^{-1}\left( \left\{ -\infty \right\} \right) &\in &\mathfrak{M}_{\mu }
\end{eqnarray*}がともに成り立つとともに、任意の区間\(I\subset \mathbb{R} \)について、\begin{equation*}\left( c\right) \ f^{-1}\left( I\right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)がルベーグ可測関数であるための必要十分条件である。
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