ルベーグ可測関数どうしの和はルベーグ可測関数
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。
拡大実数値関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f+g\)もまた\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。この場合、拡大実数値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、\(f+g\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数となる。
先の命題では2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるため、\(f+g\)がルベーグ可測であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの\(x\in X\)のもとで、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&+\infty \\
g\left( x\right) &=&-\infty
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、これらの和\begin{equation*}
f\left( x\right) +g\left( x\right) =\left( +\infty \right) +\left( -\infty
\right)
\end{equation*}は不定形になってしまうため、この場合、関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(f+g\)はルベーグ可測ではありません。
g &:&\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}をとることができます。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}に加えて実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:af\left( x\right) +bg\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
af+bg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ルベーグ可測関数の定数倍はルベーグ可測であるため\(af\)と\(bg\)はルベーグ可測です。ルベーグ可測関数どうしの和はルベーグ可測であるため\(af+bg\)はルベーグ可測です。以上より、\(af+bg\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数であることが明らかになりました。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数値関数がルベーグ可測であることと、その関数が拡大実数値ルベーグ可測であることは必要十分であるため、\(f,g\)は拡大実数値ルベーグ可測です。すると先の命題より\(f+g\)は拡大実数値ルベーグ可測ですが、\(f+g\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(f+g\)がルベーグ可測であることを意味します。結論を整理すると、実数値関数であるルベーグ可測関数\(f,g\)どうしの和である実数値関数\(f+g\)はルベーグ可測関数であるということです。
ボレル可測関数どうしの和はボレル可測関数
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。
拡大実数値関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f+g\)もまた\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。
\end{equation*}が成り立つものとする。この場合、拡大実数値関数\(f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるとともに、\(f+g\)もまた拡大実数値ボレル可測関数となる。
先の命題では2つの拡大実数値ボレル可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定していますが、その理由はルベーグ可測関数の場合と同様です。
g &:&\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}をとることができます。以下の条件\begin{equation*}
\forall x\in \mathbb{R}:f\left( x\right) +g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能であるとともに、先の命題よりこれもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}に加えて実数\(a,b\in \mathbb{R} \)が与えられているものとします。以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:af\left( x\right) +bg\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には拡大実数値関数\begin{equation*}
af+bg:\mathbb{R} \supset X \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。ボレル可測関数の定数倍はボレル可測であるため\(af\)と\(bg\)はボレル可測です。ボレル可測関数どうしの和はボレル可測であるため\(af+bg\)はボレル可測です。以上より、\(af+bg\)もまた拡大実数値ボレル可測関数であることが明らかになりました。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。実数値関数がボレル可測であることと、その関数が拡大実数値ボレル可測であることは必要十分であるため、\(f,g\)は拡大実数値ボレル可測です。すると先の命題より\(f+g\)は拡大実数値ボレル可測ですが、\(f+g\)は実数値関数であるため、以上の事実は\(f+g\)がボレル可測であることを意味します。結論を整理すると、実数値関数であるボレル可測関数\(f,g\)どうしの和である実数値関数\(f+g\)はボレル可測関数であるということです。
演習問題
\ln \left( x\right) +\frac{1}{x}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測でしょうか。議論してください。
\frac{\sin \left( x+1\right) }{2}+\frac{\cos \left( x+1\right) }{2}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}はルベーグ可測でしょうか。議論してください。
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