ルベーグ集合上に定義された連続な実数値関数はルベーグ可測
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)と、実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)がルベーグ可測関数になることが保証されます。
命題（ルベーグ集合上に定義された連続な実数値関数はルベーグ可測）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)はルベーグ可測関数である。
例（連続な実数値関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため、全区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例（恒等関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は恒等関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は恒等関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例（正弦関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は正弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は正弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例（余弦関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は余弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は余弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例（指数関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は指数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は指数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例（対数関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はルベーグ可測集合です。\(f\)は対数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はルベーグ可測集合です。\(f\)は対数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
ボレル集合上に定義された連続な実数値関数はボレル可測
実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)と、同じく実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)がボレル可測関数になることが保証されます。
命題（ボレル集合上に定義された連続な実数値関数はボレル可測）
ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)はボレル可測関数である。
例（連続な実数値関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) _{\mu }\)であるため、全区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例（恒等関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は恒等関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は恒等関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例（正弦関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は正弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は正弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例（余弦関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は余弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は余弦関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例（指数関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は指数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は指数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例（対数関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はボレル集合です。\(f\)は対数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はボレル集合です。\(f\)は対数関数であるため連続であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
ルベーグ可測集合上に定義された連続な拡大実数値関数はルベーグ可測
実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)と、拡大実数系と拡大実数系上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)が拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。
命題（ルベーグ可測集合上に定義された連続な拡大実数値関数はルベーグ可測）
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測関数である。
例（連続な拡大実数値関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため、全区間上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測関数です。
例（連続な拡大実数値関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}\)はルベーグ可測集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測です。
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}\)はルベーグ可測集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は拡大実数値ルベーグ可測です。
ボレル集合上に定義された連続な拡大実数値関数はボレル可測
実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)と、拡大実数系と拡大実数系上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \overline{\mathbb{R} },\mathcal{B}\left( \overline{\mathbb{R} }\right) \right) \)が与えられているものとします。ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)が拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。
命題（ボレル集合上に定義された連続な拡大実数値関数はボレル可測）
ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は拡大実数値ボレル可測関数である。
例（連続な拡大実数値関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル可測集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、全区間上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は拡大実数値ボレル可測関数です。
\end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は拡大実数値ボレル可測関数です。
例（連続な拡大実数値関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}\)はボレル集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は拡大実数値ボレル可測です。
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} _{+}\)はボレル集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は拡大実数値ボレル可測です。
演習問題
問題（ルベーグ可測関数）
拡大実数値関数数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
問題（ルベーグ可測関数）
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\tan \left( x\right) & \left( if\ x\not=\frac{\pi }{2}\right) \\
+\infty & \left( if\ x=\frac{\pi }{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
\begin{array}{cc}
\tan \left( x\right) & \left( if\ x\not=\frac{\pi }{2}\right) \\
+\infty & \left( if\ x=\frac{\pi }{2}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
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