ルベーグ集合上に定義された連続な実数値関数はルベーグ可測関数
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上でルベーグ可測関数になります。
命題（ルベーグ集合上に定義された連続な実数値関数はルベーグ可測関数）
実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は\(X\)上でルベーグ可測関数である。
例（連続な実数値関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため、全区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
例（恒等関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は恒等関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は恒等関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
例（正弦関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は正弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は正弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
例（余弦関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
例（正接関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の定義域\(X\)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は正接関数であるため\(X\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(X\)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の定義域\(X\)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は正接関数であるため\(X\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(X\)上でルベーグ可測関数です。
例（指数関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でルベーグ可測関数です。
例（対数関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上でルベーグ可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はルベーグ可測集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上でルベーグ可測関数です。
ルベーグ可測集合上に定義された連続な拡大実数値関数はルベーグ可測関数
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
このような拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上で拡大実数値ルベーグ可測関数になります。
命題（ルベーグ可測集合上に定義された連続な拡大実数値関数はルベーグ可測関数）
実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で拡大実数値ルベーグ可測関数である。
例（連続な拡大実数値関数はルベーグ可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため、全区間上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で拡大実数値ルベーグ可測関数です。
\end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で拡大実数値ルベーグ可測関数です。
例（連続な拡大実数値関数はルベーグ可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)はルベーグ可測集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で拡大実数値ルベーグ可測です。
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)はルベーグ可測集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で拡大実数値ルベーグ可測です。
ボレル集合上に定義された連続な実数値関数はボレル可測関数
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。
このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上でボレル可測関数になります。
命題（ボレル集合上に定義された連続な実数値関数はボレル可測関数）
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は\(X\)上でボレル可測関数である。
例（連続な実数値関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、全区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
例（恒等関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は恒等関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は恒等関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
例（正弦関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sin \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は正弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は正弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
例（余弦関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は余弦関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
例（正接関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tan \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の定義域\(X\)はボレル集合であるとともに\(f\)は正接関数であるため\(X\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(X\)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ \cos \left( x\right) \not=0\right\} \\
&=&\mathbb{R} \backslash \left\{ \frac{\left( \pm 1\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm
3\right) \pi }{2},\frac{\left( \pm 5\right) \pi }{2},\cdots \right\}
\end{eqnarray*}です。\(f\)の定義域\(X\)はボレル集合であるとともに\(f\)は正接関数であるため\(X\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(X\)上でボレル可測関数です。
例（指数関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} \)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上でボレル可測関数です。
例（対数関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はボレル集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上でボレル可測関数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はボレル集合であるとともに\(f\)は指数関数であるため\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。したがって先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上でボレル可測関数です。
ボレル集合上に定義された連続な拡大実数値関数はボレル可測関数
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。
このような拡大実数値関数\(f\)が定義域\(X\)上で連続である場合、\(f\)は\(X\)上で拡大実数値ボレル可測関数になります。
命題（ボレル集合上に定義された連続な拡大実数値関数はボレル可測関数）
実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で連続であるならば、\(f\)は\(X\)上で拡大実数値ボレル可測関数である。
例（連続な拡大実数値関数はボレル可測）
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、全区間上に定義された拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で拡大実数値ボレル可測関数です。
\end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で連続である場合には、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で拡大実数値ボレル可測関数です。
例（連続な拡大実数値関数はボレル可測）
関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)はボレル可測集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で拡大実数値ボレル可測です。
\begin{array}{cl}
\ln \left( x\right) & \left( if\ x>0\right) \\
-\infty & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{+}\)はボレル可測集合です。対数関数は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続であるため\(f\)は\(\mathbb{R} _{++}\)上で連続です。また、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 0+}\ln \left(
x\right) \\
&=&-\infty \\
&=&f\left( 0\right) \quad \because f\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(f\)は点\(0\)において右側連続です。したがって\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で連続であるため、先の命題より\(f\)は\(\mathbb{R} _{+}\)上で拡大実数値ボレル可測です。
演習問題
問題（ルベーグ可測関数）
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x^{2}} & \left( if\ x\not=0\right) \\
+\infty & \left( if\ x=0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
問題（ルベーグ可測関数）
拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,\frac{\pi }{2}\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\tan \left( x\right) & \left( if\ x\not=\frac{\pi }{2}\right) \\
+\infty & \left( if\ x=\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
\begin{array}{cc}
\tan \left( x\right) & \left( if\ x\not=\frac{\pi }{2}\right) \\
+\infty & \left( if\ x=\frac{\pi }{2}\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)はルベーグ可測ないしボレル可測でしょうか。議論してください。
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