カントール関数
カントール集合\begin{equation*}
\mathcal{C}\subset \left[ 0,1\right]
\end{equation*}が与えられているものとします。
\(0\)以上\(1\)以下の実数\(x\in \left[0,1\right] \)が与えられたとき、\begin{equation*}x\in \mathcal{C}
\end{equation*}が成り立つことと、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left\{ a_{n}\right\} \subset \left\{ 0,2\right\} ^{\mathbb{N} } \\
&&\left( b\right) \ x=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}}
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)が存在することは必要十分であるとともに、このような数列は一意的に定まります。したがって、カントール集合の要素\(x\in \mathcal{C}\)を任意に選んだとき、それを\(0\)または\(2\)を要素をして持つ数列\(\left\{ a_{n}\right\} \in \left\{ 0,2\right\} ^{\mathbb{N} }\)を用いて、\begin{eqnarray*}x &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}} \\
&=&0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}という形で3進展開できるとともに、この3進展開は一意的に定まります。つまり、カントール集合のそれぞれの要素は、小数点以下が\(0\)または\(2\)であるような3進数として一意的に表現可能です。
このような事情を踏まえた上で、カントール集合のそれぞれの要素\begin{eqnarray*}
x &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{3^{n}} \\
&=&0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots _{\left( 3\right) } \\
&\in &\mathcal{C}
\end{eqnarray*}に対して、以下の実数\begin{eqnarray*}
f\left( x\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\frac{a_{n}}{2}}{2^{n}} \\
&=&0.\frac{a_{1}}{2}\frac{a_{2}}{2}\frac{a_{3}}{2}\cdots _{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}を値として定める関数\begin{equation*}
f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義し、これをカントール関数（Cantor function）と呼びます。つまり、カントール関数とは、3進展開によって表現されたカントール集合の要素を2進展開に変換する関数です。
&=&0.000\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この3進展開の小数点以下の数はいずれも\(0\)であるため、\begin{equation*}0\in \mathcal{C}
\end{equation*}が成り立ちます。カントール関数\(f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} \)による\(0\in \mathcal{C}\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\frac{\frac{0}{2}}{2}+\frac{\frac{0}{2}}{2}+\frac{\frac{0}{2}}{2}+\cdots \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{0}{2^{1}}+\frac{0}{2^{2}}+\frac{0}{2^{2}}+\cdots \\
&=&0.000\cdots _{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}です。
&=&0.022\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、この3進展開の小数点以下の数はいずれも\(0\)または\(2\)であるため、\begin{equation*}\frac{1}{3}\in \mathcal{C}
\end{equation*}が成り立ちます。カントール関数\(f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} \)による\(\frac{1}{3}\in \mathcal{C}\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \frac{1}{3}\right) &=&\frac{\frac{0}{2}}{2^{1}}+\frac{\frac{2}{2}}{2^{2}}+\frac{\frac{2}{2}}{2^{2}}+\cdots \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{0}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots \\
&=&0.011\cdots _{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}です。
カントール関数は全射だが単射ではない
\(0\in \left[ 0,1\right] \)については、\begin{equation}0=\frac{0}{3^{1}}+\frac{0}{3^{2}}+\frac{0}{3^{3}}+\cdots \quad \cdots (1)
\end{equation}となりますが、この3進展開の小数点以下の数はいずれも\(0\)であるため、\begin{equation*}0\in \mathcal{C}
\end{equation*}です。また、\(1\in \left[ 0,1\right] \)については、\begin{equation}1=\frac{2}{3^{1}}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\cdots \quad \cdots (2)
\end{equation}となりますが、この3進展開の小数点以下の数はいずれも\(0\)であるため、\begin{equation*}1\in \mathcal{C}
\end{equation*}です。
\(\left( 1\right) ,\left( 2\right) \)を踏まえると、カントール関数\(f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} \)による\(0\)および\(1\)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\frac{0}{2}}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{+\infty }0=0 \\
f\left( 1\right) &=&\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{\frac{2}{2}}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{1}{2^{n}}=1
\end{eqnarray*}となります。加えて、後ほど示すように\(f\)は単調増加関数であるため、\begin{equation*}\forall x\in \mathcal{C}:0\leq f\left( x\right) \leq 1
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( \mathcal{C}\right) \subset \left[ 0,1\right]
\end{equation*}が成り立ちます。そこで、カントール関数の終集合を\(\left[ 0,1\right] \)に制限して、\begin{equation*}f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \left[ 0,1\right]
\end{equation*}とすれば、これは全射になります。つまり、\begin{equation*}
\forall y\in \left[ 0,1\right] ,\ \exists x\in \mathcal{C}:y=f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
カントール関数は全射であることが明らかになりました。その一方で、カントール関数は単射ではありません。カントール関数\(f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が単射であることは、\begin{equation*}\forall x,y\in \mathcal{C}:\left[ x\not=y\Rightarrow f\left( x\right)
\not=f\left( y\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味するため、カントール関数\(f\)が単射ではないことは、\begin{equation*}\exists x_{1},x_{2}\in \mathcal{C}:\left[ x_{1}\not=x_{2}\wedge f\left(
x_{1}\right) =f\left( x_{2}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つことを意味します。つまり、カントール集合の2つの異なる要素\(x_{1},x_{2}\)を3進展開によって表現した場合、両者が異なる3進展開として表現されることは確定するものの、カントール関数\(f\)を用いて両者を2進展開へ変換した場合、得られた\(f\left(x_{1}\right) \)と\(f\left( x_{2}\right) \)が一致する事態が起こり得るということです。以下の例より明らかです。
x_{1} &=&0.022\cdots _{\left( 3\right) } \\
x_{2} &=&0.200\cdots _{\left( 3\right) }
\end{eqnarray*}に注目します。両者とも小数点以下が\(0\)または\(2\)であるため、\begin{eqnarray*}x_{1} &\in &\mathcal{C} \\
x_{2} &\in &\mathcal{C}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\mathcal{C}\)上のそれぞれの要素の3進展開は一意的であるため、\begin{equation*}x_{1}\not=x_{2}
\end{equation*}です。その一方で、カントール関数\(f:\left[ 0,1\right]\supset \mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R} \)による像は、\begin{eqnarray*}f\left( x_{1}\right) &=&0.\frac{0}{2}\frac{2}{2}\frac{2}{2}\cdots _{\left(
2\right) }=0.011\cdots _{\left( 2\right) } \\
f\left( x_{2}\right) &=&0.\frac{2}{2}\frac{0}{2}\frac{0}{2}\cdots _{\left(
2\right) }=0.100\cdots _{\left( 2\right) }
\end{eqnarray*}となります。両者は異なるようですが、実際には、\begin{equation*}
0.011\cdots _{\left( 2\right) }=0.100\cdots _{\left( 2\right) }=\frac{1}{2}
\end{equation*}であるため（演習問題）、\(f\)は単射ではありません。
カントール集合の定義域の拡張
カントール関数\(f:\left[ 0,1\right]\supset \mathcal{C}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)の定義域はカントール集合\(\mathcal{C}\)であり、これは閉区間\(\left[ 0,1\right] \)の部分集合です。カントール集合の定義域を\(\left[ 0,1\right] \)へ拡張するためには、カントール集合の補集合\(\left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\)に対して\(f\)が定める値を指定する必要があります。以下の要領で\(f\)の定義域を\(\left[ 0,1\right] \)に拡張することにより得られる関数を、\begin{equation*}F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}で表記するものと定めます。
まず、カントール集合の要素\(x\in \mathcal{C}\)については、引き続き、\begin{equation*}F\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}と定めます。
続いて、カントール集合に属さない要素\(x\in \left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\)を任意に選びます。その上で、カントール集合\(\mathcal{C}\)の要素の中でも\(x\)よりも小さい値からなる集合\begin{equation*}\left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\}
\end{equation*}をとります。\(0\in \mathcal{C}\)ゆえに、\begin{equation*}0\in \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\}
\end{equation*}であるため、この集合は非空です。加えて、この集合は上界\(x\)を持つため上に有界であり、したがって、その上限が1つの有限な実数として定まります。加えて、後ほど示すようにその上限はカントール集合の要素になります。つまり、\begin{equation*}\sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\} \in
\mathcal{C}
\end{equation*}が成り立つため、カントール関数\(f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)による像\begin{equation*}f\left( \sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\}
\right) \in \left[ 0,1\right]
\end{equation*}をとることができます。そこでこれを、\begin{equation*}
F\left( x\right) =f\left( \sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\
x^{\prime }<x\right\} \right)
\end{equation*}として採用します。
改めて整理すると、カントール集合\(\mathcal{C}\)上に定義されたカントール関数\(f:\left[ 0,1\right] \supset \mathcal{C}\rightarrow \left[ 0,1\right] \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in \mathcal{C}\right) \\
f\left( \sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\}
\right) & \left( if\ x\in \left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \left[ 0,1\right]
\end{equation*}を定義します。これもまたカントール関数（Cantor function）やカントール・ルベーグ関数（Cantor-Lebesgue function）などと呼ばれます。
&=&0.022\cdots _{\left( 3\right) } \\
&\in &\mathcal{C}
\end{eqnarray*}であることに注意してください。\(x\in \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&f\left( \sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\
x^{\prime }<x\right\} \right) \quad \because F\text{の定義}
\\
&=&f\left( \frac{1}{3}\right) \quad \because \frac{1}{3}\in \mathcal{C} \\
&=&\frac{\frac{0}{2}}{2^{1}}+\frac{\frac{2}{2}}{2^{2}}+\frac{\frac{2}{2}}{2^{2}}+\cdots \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{0}{2^{1}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots \\
&=&0.011\cdots _{\left( 2\right) } \\
&=&\frac{1}{2}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \)上の任意の点\(x\)について同様であるため、\begin{equation*}\forall x\in \left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) :F\left( x\right) =\frac{1}{2}
\end{equation*}を得ます。つまり、カントール関数\(F\)は\(\left( \frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) \)上において定数関数です。
&=&0.202\cdots _{\left( 3\right) } \\
&\in &\mathcal{C}
\end{eqnarray*}であることに注意してください。\(x\in \left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}F\left( x\right) &=&f\left( \sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\
x^{\prime }<x\right\} \right) \quad \because F\text{の定義}
\\
&=&f\left( \frac{7}{9}\right) \quad \because \frac{7}{9}\in \mathcal{C} \\
&=&\frac{\frac{2}{2}}{2^{1}}+\frac{\frac{0}{2}}{2^{2}}+\frac{\frac{2}{2}}{2^{2}}+\cdots \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{2^{1}}+\frac{0}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots \\
&=&0.101\cdots _{\left( 2\right) } \\
&=&\frac{3}{4}
\end{eqnarray*}が成り立ちます。\(\left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) \)上の任意の点\(x\)について同様であるため、\begin{equation*}\forall x\in \left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) :F\left( x\right) =\frac{3}{4}
\end{equation*}を得ます。つまり、カントール関数\(F\)は\(\left( \frac{7}{9},\frac{8}{9}\right) \)上において定数関数です。
カントールの集合\(\mathcal{C}\)を明示的な形で表現すると、\begin{equation*}\mathcal{C}=\left[ 0,1\right] \backslash \bigcup_{n=1}^{+\infty
}\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right)
\end{equation*}となります。
カントール集合\(\mathcal{C}\)を定義する際には各ステップにおいて残されている閉区間を3等分した上で、真ん中に位置する開区間を除去します。したがって、\(\left[ 0,1\right] \)上におけるカントール集合の補集合\(\left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\)は互い素な正の長さを持つ有界開区間の和集合です。加えて、以下の関係\begin{equation}\left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}=\bigcup_{n=1}^{+\infty
}\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}もまた成立します。\(\left( 1\right) \)の左辺は互いに素な開区間の和集合である一方、\(\left( 1\right) \)の右辺を構成する開区間どうしは互いに素ではありません（他の区間の部分集合であるような区間が存在する）。ただし、\(\left( 1\right) \)の左辺と右辺は集合として一致するということです。したがって、カントール集合の補集合を構成する開区間\(\left( a,b\right) \subset \left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\)を任意に選んだとき、\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \left\{ 0,\cdots ,3^{n-1}-1\right\} :\left( a,b\right)
=\left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、\(x\in \left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\)を任意に選んだとき、\begin{equation}\exists n\in \mathbb{N} ,\ \exists k\in \left\{ 0,\cdots ,3^{n-1}-1\right\} :x\in \left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立ちます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( a,b\right) =\left( \frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right) \subset \left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C} \\
&&\left( b\right) \ a=\frac{3k+1}{3^{n}}\in \mathcal{C} \\
&&\left( c\right) \ b=\frac{3k+2}{3^{n}}\in \mathcal{C}
\end{eqnarray*}です。
カントール集合\(\mathcal{C}\)の要素の中でも\(x\in \left[ 0,1\right]\backslash \mathcal{C}\)よりも小さい値からなる集合\begin{equation*}\left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\}
\end{equation*}をとれば、\(\left( 2\right) \)および\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)より、\begin{equation*}\sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\} =\frac{3k+1}{3^{n}}
\end{equation*}を得るため、\begin{equation*}
\sup \left\{ x^{\prime }\in \mathcal{C}\ |\ x^{\prime }<x\right\} \in
\mathcal{C}
\end{equation*}が成り立ちます。以上より、カントール関数\(F:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)の定義には問題がないことが明らかになりました。
カントール関数は単調増加
カントール集合\(\mathcal{C}\)上に定義されたカントール関数\(f\)は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \mathcal{C}:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left(
x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right]
\end{equation*}が成り立ちます。
カントール集合の補集合\(\left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}\)は互い素な正の長さを持つ有界開区間の和集合です。そこで、そのような開区間\begin{equation*}\left( a,b\right) \subset \left[ 0,1\right] \backslash \mathcal{C}
\end{equation*}を任意に選んだとき、区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義されたカントール集合\(F\)は\(\left( a,b\right) \)上で定数関数になります。
\end{equation*}を満たす場合、\(F\)は\(\left(a,b\right) \)上で定数関数である。
以上の2つの命題を踏まえると、区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義されたカントール関数\(F\)が単調増加であることが示されます。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left[ 0,1\right] :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right]
\end{equation*}が成り立つということです。
カントール関数は連続関数
カントール集合\(\mathcal{C}\)上に定義されたカントール関数\(f\)は連続関数です。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \mathcal{C},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\
\forall x^{\prime }\in \mathcal{C}:\left( \left\vert x-x^{\prime
}\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
x^{\prime }\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立ちます。
以上の命題を踏まえると、区間\(\left[ 0,1\right] \)上に定義されたカントール関数\(F\)もまた連続関数であることが示されます。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \delta
>0,\ \forall x^{\prime }\in \left[ 0,1\right] :\left( \left\vert x-x^{\prime
}\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left(
x^{\prime }\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つということです。
演習問題
&&\left( b\right) \ x=\sum_{n=1}^{+\infty }\frac{a_{n}}{2^{n}}
\end{eqnarray*}を満たす数列\(\left\{ a_{n}\right\} \)が必ず存在することを示してください。
0.011\cdots _{\left( 2\right) }=0.100\cdots _{\left( 2\right) }=\frac{1}{2}
\end{equation*}
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