単調関数とルベーグ積分に関する純変化量定理

リーマン積分に関する純変化量定理

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとします。つまり、導関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が存在するということです。関数\(f\)は区間の端点\(a,b\)において微分可能であるとは限らないため、導関数\(\frac{df}{dx}\)は点\(a,b\)において定義されているとは限らず、したがって\(\frac{df}{dx}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討できない可能性があります。ただ、区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能な関数に関しては、区間\(\left[ a,b\right] \)上の有限個の点\(x\)に対して関数が定める値を自由に入れ替えても、その関数は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であることが保証されます。したがって、導関数\(\frac{df}{dx}\)が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるか検討する際には、区間の端点\(a,b\)に対して\(\frac{df}{dx}\)が定める値\(\frac{df\left( a\right) }{dx},\frac{df\left( b\right) }{dx}\)を任意に選んでも一般性は失われません。いずれにせよ、そのようにして得られた関数\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるならば、\(f\)および\(\frac{df}{dx}\)は微分積分学の第2基本定理が要求する条件を満たすため、導関数\(\frac{df}{dx}\)の\(\left[ a,b\right] \)上の定積分について、\begin{equation*}\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx=f\left( b\right) -f\left(
a\right)
\end{equation*}という関係が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(f\)の導関数\(\frac{df}{dx}\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での定積分をとれば、もとの関数\(f\)の区間\(\left[ a,b\right] \)上での変化が得られることを微分積分学の第2基本定理は保証します。これを純変化量定理（net change theorem）と呼びます。

導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。

単調増加関数とルベーグ積分に関する純変化量定理

ルベーグ積分に関しても純変化量定理は成立するのでしょうか。まずは単調関数を対象に議論を行います。

実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

\(\left[ a,b\right] \)上で単調増加な関数は\(\left( a,b\right) \)上においても単調増加であるため、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上で単調増加関数です。するとルベーグの定理より、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能であることが保証されます。つまり、単調増加関数\(f\)が微分可能ではない\(\left( a,b\right) \)上の点からなる集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ \overline{D}f\left( x\right) =+\infty
\right\} \cup \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ 0\leq \underline{D}f\left(
x\right) <\overline{D}f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}について、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。したがって、導関数\(\frac{df}{dx}\)が\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで定義されます。つまり、\begin{equation*}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \backslash A\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。

単調増加関数の導関数は非負値をとるため、\(\frac{df}{dx}\)は\(\left( a,b\right) \backslash A\)上で非負値をとります。つまり、\begin{equation*}\forall x\in \left( a,b\right) \backslash A:\frac{df\left( x\right) }{dx}\geq 0
\end{equation*}です。加えて、\(f\)が単調増加である場合に\(\frac{df}{dx}\)はルベーグ可測関数になることが証明されます。以上より、\(\frac{df}{dx}\)は\(\left( a,b\right) \backslash A\)上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数であることが明らかになりました。したがって、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{\left( a,b\right) \backslash A}\frac{df}{dx}
\end{equation*}をとることができます。加えて、以下の関係\begin{equation*}
\int_{\left( a,b\right) \backslash A}\frac{df}{dx}\leq f\left( b\right)
-f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことが証明されます。右辺\(f\left(b\right) -f\left( a\right) \)は有限な実数であるため左辺もまた有限な実数であり、したがってこの不等式は\(\frac{df}{dx}\)が\(\left( a,b\right) \backslash A\)上でルベーグ積分可能であることも同時に意味します。証明ではファトゥの補題を利用します。

上の命題中の導関数\begin{equation}
\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \backslash A\rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (1)
\end{equation}が与えられた状況において、\(A\cup \left\{ a,b\right\} \)上の点\(x\)に対して実数\(\frac{df\left(x\right) }{dx}\)を割り当てれば\(\frac{df}{dx}\)の定義域を\(\left[ a,b\right] \)に拡大した関数\begin{equation}\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \quad \cdots (2)
\end{equation}が得られます。\(A\cup \left\{a,b\right\} \)は零集合であるため、\(A\cup \left\{ a,b\right\} \)上の点\(x\)に対する\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)としてどのような値を選んだ場合でも、\(\left[ a,b\right] \)上に定義された関数\(\frac{df}{dx}\)はいずれも\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ可測になることが保証されます。\(\left( 1\right) \)と\(\left( 2\right) \)は\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところで等しいため\(\left( 2\right) \)は\(\left[ a,b\right] \)上でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\int_{\left[ a,b\right] }\frac{df}{dx}=\int_{\left( a,b\right) \backslash A}\frac{df}{dx}
\end{equation*}を得ます。以上の事実と先の命題を踏まえると、\begin{equation*}
\int_{\left[ a,b\right] }\frac{df}{dx}\leq f\left( b\right) -f\left(
a\right)
\end{equation*}を得ます。

純変化量定理は等号で成立するとは限らない

先の命題中の主張は等号で成立するとは限りません。以下の例より明らかです。