関数のディニ微分（上微分・下微分）

上ディニ微分係数

実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(f\)の定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。例えば、\(a\)が\(X\)の内点であればそのような条件が満たされます。

関数\(f\)の変数\(x\)を点\(a\)から\(h\not=0\)だけ変化させると、それに応じて\(f\left(x\right) \)の値は\(f\left( a\right) \)から\(f\left( a+h\right) \)まで変化します。このとき、\(f\left( x\right) \)の変化量と\(x\)の変化量の比に相当する\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}を、変数\(x\)を点\(a\)から\(h\)だけ動かした場合の\(f\left( x\right) \)の平均変化率（average rate of change）と呼びます。平均変化率を変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の上極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{equation*}をとります。この上極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その上極限を\(f\)の\(a\)における上ディニ微分係数（upper Dini differential coefficient at \(a\)）や上微分係数（upper differential coefficient）などと呼び、これを、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}で表記します。上ディニ微分係数\(\overline{D}f\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において上ディニ微分可能である（upper Dini differentiable at \(a\)）とか上微分可能である（upper differentiable）などと言います。

ちなみに、「ディニ」はディニ微分の考案者であるイタリアの数学者ウリッセ・ディニ（ULisse Dini）に由来しています。

下ディニ微分係数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。定義域の点\(a\in X\)を任意に選びます。ただし、\(f\)は点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているものとします。関数\(f\)の点\(a\)における平均変化率は、\begin{equation*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}ですが、これを変数\(h\)に関する関数とみなした上で、\(h\rightarrow 0\)の場合の下極限\begin{equation*}\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}=\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right) -f\left(
a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\end{equation*}をとります。この下極限は有限な実数として定まるとは限りませんが、仮に有限な実数として定まる場合、その下極限を\(f\)の\(a\)における下ディニ微分係数（lower Dini differential coefficient at \(a\)）や下微分係数（lower differential coefficient）などと呼び、これを、\begin{equation*}\underline{D}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}で表記します。下ディニ微分係数\(\underline{D}f\left(a\right) \)が存在する場合、\(f\)は点\(a\)において下ディニ微分可能である（lower Dini differentiable at \(a\)）とか下微分可能である（lower differentiable）などと言います。

関数はディニ微分可能であるとは限らない

関数はディニ微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。

上ディニ微分係数と下ディニ微分係数は一致するとは限らない

関数の上ディニ微分係数と下ディニ微分係数がともに有限な実数として定まる場合、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ます。

まずは、上ディニ微分係数と下ディニ微分係数が一致する関数の例を挙げます。

続いて、上ディニ微分係数と下ディニ微分係数が異なる関数の例です。

上ディニ微分係数は下ディニ微分係数以上

関数の上ディニ微分係数と下ディニ微分係数がともに有限な実数として定まる場合、両者が一致するケースと異なるケースの両方が起こり得ることが明らかになりました。ただ、上ディニ微分係数は必ず下ディニ微分係数以上になります。

上ディニ導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において上ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの上ディニ微分係数\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。以上を踏まえると、\(f\)が上ディニ微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(y\in Y\)に対して、そこでの上ディニ微分係数\(\overline{D}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}\overline{D}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の上ディニ導関数（upper Dini derivative）や上導関数（upper derivative）などと呼び、これを、\begin{equation*}\overline{D}f,\quad \overline{D}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において上ディニ微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が上ディニ微分可能ではない点が存在する場合、上ディニ導関数\(\overline{D}f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の上ディニ導関数\(\overline{D}f\)は、もとの関数\(f\)が上ディニ微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と上ディニ導関数\(\overline{D}f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において上ディニ微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で上ディニ微分可能である（upper Dini differentiable on \(X\)）とか上微分可能である（upper differentiable）などと言います。

下ディニ導関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において下ディニ微分可能であることとは、\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの下ディニ微分係数\begin{equation*}\underline{D}f\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。以上を踏まえると、\(f\)が下ディニ微分可能な点からなる集合を\(Y\subset X\)で表記するとき、それぞれの\(y\in Y\)に対して、そこでの下ディニ微分係数\(\underline{D}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \)を値として定める関数\begin{equation*}\underline{D}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。これを\(f\)の下ディニ導関数（lower Dini derivative）や下導関数（lower derivative）などと呼び、これを、\begin{equation*}\underline{D}f,\quad \underline{D}f\left( x\right)
\end{equation*}などで表記します。

一般に、関数\(f\)は定義域\(X\)上の任意の点において下ディニ微分可能であるとは限りません。定義域\(X\)の中に関数\(f\)が下ディニ微分可能ではない点が存在する場合、下ディニ導関数\(\underline{D}f\)の定義域\(Y\)は\(X\)の真部分集合になります。関数\(f\)の下ディニ導関数\(\underline{D}f\)は、もとの関数\(f\)が下ディニ微分可能な点においてのみ定義される関数であるということです。一方、関数\(f\)の定義域\(X\)と下ディニ導関数\(\underline{D}f\)の定義域\(Y\)が一致する場合、すなわち、関数\(f\)が定義域\(X\)上の任意の点において下ディニ微分可能である場合、\(f\)は\(X\)上で下ディニ微分可能である（lower Dini differentiable on \(X\)）とか下微分可能である（lower differentiable）などと言います。

演習問題