絶対連続関数の微分可能性
実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が区間\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続であることは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \left( a\right) ,\left(
b\right) ,\left( c\right) \text{を満たす}\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}:\left[ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta \Rightarrow \sum_{i=1}^{n}\left\vert
f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right) \right\vert <\varepsilon \right]
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。ただし、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right]
=\phi \right)
\end{eqnarray*}です。つまり、どれほど小さい\(\varepsilon >0\)を任意に選んだ場合でも、それに対して何らかの\(\delta >0\)を選ぶことにより、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right]
=\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす任意の閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)について、\begin{equation*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続です。
絶対連続関数は有界変動関数であり、有界変動関数はほとんどいたるところで微分可能であるため、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続である場合、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上のほとんどいたるところで微分可能です。
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は微分可能であるため、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において微分可能です。同じことを先の命題から導きます。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続であることを示します。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation*}\delta >0
\end{equation*}を任意に選びます。その上で、以下の4つの条件\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert &=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert c-c\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}0 \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続関数です。すると先の命題より、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。恒等関数は微分可能であるため、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において微分可能です。同じことを先の命題から導きます。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で絶対連続であることを示します。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\varepsilon >0 \quad \cdots (1)
\end{equation}と定めます。その上で、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert &=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert \quad
\because f\text{の定義} \\
&<&\delta \quad \because \left( d\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上において絶対連続関数です。すると先の命題より、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上の任意の点において微分可能ですが、同じことを先の命題から導きます。\(f\)が\(\left[ 0,1\right] \)上で絶対連続であることを示します。そこで、\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\delta =\frac{\varepsilon }{2}>0 \quad \cdots (1)
\end{equation}と定めます。その上で、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ n\in \mathbb{N} \\
&&\left( b\right) \ \forall i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :a\leq
a_{i}<b_{i}\leq b \\
&&\left( c\right) \ \forall i,j\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\left(
i\not=j\Rightarrow \left[ a_{i},b_{i}\right] \cap \left[ a_{j},b_{j}\right] =\phi \right) \\
&&\left( d\right) \ \sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert <\delta
\end{eqnarray*}を満たす閉区間族\(\left\{ \left[ a_{i},b_{i}\right] \right\} _{i=1}^{n}\)を任意に選ぶと、\begin{eqnarray*}\sum_{i=1}^{n}\left\vert f\left( b_{i}\right) -f\left( a_{i}\right)
\right\vert &=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}^{2}-a_{i}^{2}\right\vert
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert \left( b_{i}-a_{i}\right) \left(
b_{i}+a_{i}\right) \right\vert \\
&=&\sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert \left\vert
b_{i}+a_{i}\right\vert \\
&\leq &\sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert \left\vert
1+1\right\vert \quad \because \left( b\right) \\
&=&2\sum_{i=1}^{n}\left\vert b_{i}-a_{i}\right\vert \\
&<&2\delta \quad \because \left( d\right) \\
&=&\varepsilon \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において絶対連続関数です。すると先の命題より、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。無理関数\(\sqrt{x}\)は\(\left(0,1\right) \)上のすべての点において微分可能ですが、同じことを先の命題から導きます。実際、\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において絶対連続であるため（演習問題）、先の命題より\(f\)は\(\left(0,1\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
絶対連続関数は任意の点において微分可能であるとは限らない
有界閉区間上に定義された絶対連続関数はほとんどいたるところで微分可能であることが明らかになりました。その一方で、絶対連続関数はすべての点において微分可能であるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
x^{2}\left\vert \sin \left( \frac{1}{x}\right) \right\vert & \left( if\
x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上に絶対連続であるため、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能です。その一方で、この関数\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上に存在する無限個の点において微分可能ではありません（演習問題）。
リプシッツ関数の微分可能性
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。
関数\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上においてリプシッツ関数（リプシッツ連続）であることは、\begin{equation*}\exists k\in \mathbb{R} ,\ \forall x,y\in \left[ a,b\right] :\left\vert f\left( y\right) -f\left(
x\right) \right\vert \leq k\left\vert y-x\right\vert
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
リプシッツ関数は絶対連続関数であり、絶対連続関数は有界変動であるため、関数\(f\)が区間\(\left[ a,b\right] \)上においてリプシッツ関数である場合、\(f\)は\(\left[a,b\right] \)上において有界変動です。以上の事実と先の命題を踏まえると以下を得ます。
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(x^{2}\)は\(\left( 0,4\right) \)上のすべての点において微分可能ですが、同じことを先の命題から導きます。実際、\(f\)は\(\left[ 0,4\right] \)上においてリプシッツ関数であるため（演習問題）、先の命題より\(f\)は\(\left( 0,4\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上において絶対連続であることを示してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数が\(\left[ 0,4\right] \)上でリプシッツ関数であることを示してください。
\begin{array}{cc}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
x^{2}\left\vert \sin \left( \frac{1}{x}\right) \right\vert & \left( if\
x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は\(\left[ 0,1\right]\)上に絶対連続である一方で、\(\left( 0,1\right) \)上に存在する無限個の点において微分可能ではないことを示してください。
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