ディニ微分を用いた関数の微分可能性の判定
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において微分可能であることとは、この関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの微分係数\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}
\end{equation*}が有限な実数として定まることを意味します。
一方、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において上ディニ微分可能であることとは、この関数\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの上ディニ微分係数\begin{eqnarray*}\overline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まることを意味します。
また、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において下ディニ微分可能であることとは、この\(f\)が点\(a\)の周辺の任意の点において定義されているとともに、そこでの下ディニ微分係数\begin{eqnarray*}\underline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義}
\end{eqnarray*}が有限な実数として定まることを意味します。
関数\(f\)が定義域上の点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに、上ディニ微分係数と下ディニ微分係数が一致することは、すなわち、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right) \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことは、関数\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分です。しかも、以上の条件が成り立つ場合、微分係数は上ディニ微分係数や下ディニ微分係数と一致します。つまり、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つということです。
命題（ディニ微分を用いた関数の微分可能性の判定）
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)と定義域上の点\(a\in X\)について、\(f\)が点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}が成り立つことは、\(f\)が点\(a\)において微分可能であるための必要十分条件である。しかもこのとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。
例（微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( 2a+\delta \right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\underline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}2a \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \)における平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{\left( a+h\right)
^{2}-a^{2}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{a^{2}+2ah+h^{2}-a}{h} \\
&=&2a+h
\end{eqnarray*}であるため、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( 2a+\delta \right) \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\underline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ 2a+h\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}2a \\
&=&2a
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right) =2a
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =2a
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
例（微分可能な関数）
関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\underline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、そこでの微分係数は、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}ですが、同じことを先の命題を用いて示します。点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h} &=&\frac{1}{h}\left( \frac{1}{a+h}-\frac{1}{a}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{1}{h}\left[ \frac{a-\left( a+h\right) }{a\left( a+h\right) }\right] \\
&=&-\frac{1}{a\left( a+h\right) }
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。また、\begin{eqnarray*}
\underline{D}f\left( a\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
a+h\right) -f\left( a\right) }{h}\quad \because \text{下ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ -\frac{1}{a\left( a+h\right) }\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cl}
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a-\delta \right)
}\right) & \left( if\ a>0\right) \\
\lim\limits_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a\left( a+\delta \right)
}\right) & \left( if\ a<0\right)
\end{array}\right. \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -\frac{1}{a^{2}}\right) \\
&=&-\frac{1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに、\begin{equation*}\overline{D}f\left( a\right) =\underline{D}f\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}が成り立ちます。したがって、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =-\frac{1}{a^{2}}
\end{equation*}となります。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
ディニ微分を用いた微分不可能性の判定
関数\(f\)が点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに上下のディニ微分係数が一致する場合、そしてその場合にのみ、\(f\)は点\(a\)において微分可能であることが明らかになりました。したがって、\(f\)が点\(a\)において上ディニ微分可能でない場合や下ディニ微分可能ではない場合には、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではありません。
例（微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h} \\
&=&h^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( +\infty \right) \quad \because \left\{
h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\text{は上に有界ではない} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left( 0+h\right) ^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{h^{\frac{1}{3}}}{h} \\
&=&h^{-\frac{2}{3}}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( +\infty \right) \quad \because \left\{
h^{-\frac{2}{3}}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\text{は上に有界ではない} \\
&=&+\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
例（微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{-\left( 0+h\right)
^{\frac{1}{3}}+0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( \frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\right) \\
&=&-\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}-\left( \delta ^{-\frac{2}{3}}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{-\left( 0+h\right)
^{\frac{1}{3}}+0^{\frac{1}{3}}}{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&-\left( \frac{h^{\frac{1}{3}}}{h}\right) \\
&=&-\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ -\left( h^{-\frac{2}{3}}\right)
\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}-\left( \delta ^{-\frac{2}{3}}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において上ディニ微分可能ではないことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
関数\(f\)が点\(a\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるものの、上下のディニ微分係数が一致しない場合にも、先の命題より、\(f\)は点\(a\)において微分可能ではないことが保証されます。
例（微分可能ではない関数）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{\left\vert h\right\vert }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、\begin{eqnarray*}
\underline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{\left\vert h\right\vert }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(0\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能である一方で、\begin{equation*}\overline{D}f\left( 0\right) \not=\underline{D}f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)おける平均変化率は、\begin{eqnarray*}\frac{f\left( 0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} &=&\frac{\left\vert
h\right\vert -\left\vert 0\right\vert }{h}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left\vert h\right\vert }{h}
\end{eqnarray*}です。したがって、\begin{eqnarray*}
\overline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\sup \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h}\quad \because \text{上ディニ微分の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{上極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\sup \left\{ \frac{\left\vert h\right\vert }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。一方、\begin{eqnarray*}
\underline{D}f\left( 0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0}\inf \frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{f\left( a+h\right)
-f\left( a\right) }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\}
\quad \because \text{下極限の定義} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\inf \left\{ \frac{\left\vert h\right\vert }{h}\in \mathbb{R} \ |\ h\in \left( -\delta ,0\right) \cup \left( 0,\delta \right) \right\} \\
&=&\lim_{\delta \rightarrow 0+}\left( -1\right) \\
&=&-1
\end{eqnarray*}となります。以上より、\(f\)は点\(0\)において上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能である一方で、\begin{equation*}\overline{D}f\left( 0\right) \not=\underline{D}f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つことが明らかになりました。したがって、先の命題より\(f\)は点\(0\)において微分可能ではありません。
演習問題
問題（微分とディニ微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\vert x\right\vert
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)が微分可能な点をすべて特定してください。
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)が微分可能な点をすべて特定してください。
問題（微分とディニ微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
\left\vert 2x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)の点\(0\)における微分可能性を判定して下さい。
\begin{array}{cl}
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
\left\vert 2x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)の点\(0\)における微分可能性を判定して下さい。
問題（ディニ微分と微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
\left\vert 2x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)の点\(1\)における微分可能性を判定して下さい。
\begin{array}{cl}
\left\vert x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
\left\vert 2x\right\vert & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)の点\(1\)における微分可能性を判定して下さい。
問題（ディニ微分と微分）
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)の点\(0\)における微分可能性を判定して下さい。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x=0\right) \\
x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ディニ微分を用いて\(f\)の点\(0\)における微分可能性を判定して下さい。
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