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ディニ微分

ルベーグの定理(単調関数の微分可能性)

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単調増加関数はほとんどいたるところで微分可能

実数空間\(\mathbb{R} \)とルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)およびルベーグ測度\(\mu \)からなるルベーグ測度空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられているものとします。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単調増加関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

関数\(f\)が点\(x\in \left( a,b\right) \)において微分可能であることと、\(f\)の点\(x\)における上微分係数\(\overline{D}f\left(x\right) \)と下微分係数\(\underline{D}f\left( x\right) \)がともに有限な実数として定まるとともに両者が一致することは必要十分です。したがって、\(f\)が点\(x\)において微分可能ではないこととは、\(\overline{D}f\left( x\right) \)または\(\underline{D}f\left(x\right) \)の少なくとも一方が有限な実数として定まらないか、もしくは、両者が有限な実数として定まるものの値として異なることを意味します。上微分係数の値は下微分係数の値以上であり、なおかつ単調増加関数の上微分係数と下微分係数は非負であることを踏まえると、単調増加関数\(f\)が微分可能ではない点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ \overline{D}f\left( x\right) =+\infty
\right\} \cup \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ 0\leq \underline{D}f\left(
x\right) <\overline{D}f\left( x\right) <+\infty \right\}
\end{equation*}となりますが、これは零集合になることが保証されます。つまり、単調増加関数\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところにおいて微分可能です。

命題(単調増加関数はほとんどいたるところで微分可能)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が単調増加であるならば、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能である。
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単調増加関数\(f\)の定義域である開区間\(\left( a,b\right) \)が有界であるとは限らず、\begin{eqnarray*}&&\left( a,+\infty \right) \\
&&\left( -\infty ,b\right) \\
&&\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}などの無限区間である場合も同様の主張が成り立ちます。

命題(単調増加関数はほとんどいたるところで微分可能)
\(a<b\)を満たす拡大実数値\(a,b\in \overline{\mathbb{R} }\)を端点とする開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が単調増加であるならば、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能である。
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例(定数関数の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は微分可能であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能です。同じことを先の命題から導きます。定数関数は単調増加関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
例(恒等関数の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数です。恒等関数は微分可能であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能です。同じことを先の命題から導きます。関数\(x\)は単調増加関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
例(不連続な単調増加関数の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 0\right) \\
0 & \left( if\ x<0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。この関数は単調増加関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上のほとんどいたるところで微分可能です。実際、\(f\)が微分可能ではない点からなる集合は\begin{equation*}\left\{ 0\right\}
\end{equation*}ですが、これは有限集合であるため零集合です。

例(カントール関数の微分可能性)
カントール関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。カントール集合を\(\mathcal{C}\subset \left[ 0,1\right]\)表記します。カントール関数\(f\)は\(\left( 0,1\right) \backslash \mathcal{C}\)上の任意の点において微分可能ですが、カントール集合\(\mathcal{C}\)は零集合であるため、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能です。同じことを先の命題から導きます。カントール集合\(f\)は\(\left[ 0,1\right] \)上において単調増加関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\left( 0,1\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。ちなみに、カントール集合\(\mathcal{C}\)は非可算集合であるため、\(f\)が微分可能ではない点からなる集合は非可算集合です。

 

単調減少関数はほとんどいたるところで微分可能

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。加えて、\(f\)は単調減少関数であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in \left( a,b\right) :\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow
f\left( x\right) \geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

関数\(f\)が点\(x\in \left( a,b\right) \)において微分可能であることと、\(f\)の点\(x\)における上微分係数\(\overline{D}f\left(x\right) \)と下微分係数\(\underline{D}f\left( x\right) \)がともに有限な実数として定まるとともに両者が一致することは必要十分です。したがって、\(f\)が点\(x\)において微分可能ではないこととは、\(\overline{D}f\left( x\right) \)または\(\underline{D}f\left(x\right) \)の少なくとも一方が有限な実数として定まらないか、もしくは、両者が有限な実数として定まるものの値として異なることを意味します。上微分係数の値は下微分係数の値以上であり、なおかつ単調減少関数の上微分係数と下微分係数は非正であることを踏まえると、単調減少関数\(f\)が微分可能ではない点からなる集合は、\begin{equation*}\left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ \underline{D}f\left( x\right) =-\infty
\right\} \cup \left\{ x\in \left( a,b\right) \ |\ -\infty <\underline{D}f\left( x\right) <\overline{D}f\left( x\right) \leq 0\right\}
\end{equation*}となりますが、これは零集合になることが保証されます。つまり、単調減少関数\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところにおいて微分可能です。

命題(単調減少関数はほとんどいたるところで微分可能)
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が単調減少であるならば、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能である。
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単調減少関数\(f\)の定義域である開区間\(\left( a,b\right) \)が有界であるとは限らず、\begin{eqnarray*}&&\left( a,+\infty \right) \\
&&\left( -\infty ,b\right) \\
&&\left( -\infty ,+\infty \right)
\end{eqnarray*}などの無限区間である場合も同様の主張が成り立ちます。

命題(単調減少関数はほとんどいたるところで微分可能)
\(a<b\)を満たす拡大実数値\(a,b\in \overline{\mathbb{R} }\)を端点とする開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が単調減少であるならば、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能である。
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例(定数関数の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、定数\(c\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。つまり、\(f\)は定数関数です。定数関数は微分可能であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能です。同じことを先の命題から導きます。定数関数は単調減少関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。
例(恒等関数の定数倍の微分可能性)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。つまり、\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍(\(-1\)倍)です。恒等関数は微分可能であり、微分可能な関数の定数倍は微分可能であるため、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上の任意の点において微分可能です。同じことを先の命題から導きます。関数\(-x\)は単調減少関数であるため、先の命題より、\(f\)は\(\mathbb{R} \)上のほとんどいたるところで微分可能ですが、これは先の結果と整合的です。

 

ルベーグの定理

これまで示した命題を踏まえると以下を得ます。これをルベーグの定理(Lebesgue’s theorem)と呼びます。

命題(ルベーグの定理)

\(a<b\)を満たす拡大実数値\(a,b\in \overline{\mathbb{R} }\)を端点とする開区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( a,b\right) \rightarrow \mathbb{R} \)が単調であるならば、\(f\)は\(\left( a,b\right) \)上のほとんどいたるところで微分可能である。

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