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ルベーグ可測関数

単調関数は可測関数(ルベーグ可測・ボレル可測)

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ルベーグ集合上に定義された単調な実数値関数はルベーグ可測

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)と、実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

加えて、\(f\)は単調関数であるものとします。つまり、\(f\)は単調増加関数であるか、単調減少関数であるか、その少なくとも一方であるということです。なお、\(f\)が単調増加関数であることは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\(f\)が単調減少関数であることは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)はルベーグ可測関数になることが保証されます。

命題(ルベーグ集合上に定義された単調な実数値関数はルベーグ可測)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で単調であるならば、\(f\)はルベーグ可測関数である。
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例(単調な実数値関数はルベーグ可測)
全区間\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{M}_{\mu }\)であるため、全区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がルベーグ可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で単調である場合には、先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例(恒等関数はルベーグ可測)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は恒等関数であるため単調増加であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例(指数関数はルベーグ可測)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はルベーグ可測集合です。\(f\)は指数関数であるため単調増加であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。
例(対数関数はルベーグ可測)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はルベーグ可測集合です。\(f\)は対数関数であるため単調増加であり、したがって先の命題より、\(f\)はルベーグ可測関数です。

 

ボレル集合上に定義された単調な実数値関数はルベーグ可測

実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)と、同じく実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で単調である場合、\(f\)がボレル可測関数になることが保証されます。

命題(ボレル集合上に定義された単調な実数値関数はボレル可測)
ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で単調であるならば、\(f\)はボレル可測関数である。
命題(ルベーグ集合上に定義された単調な実数値関数はルベーグ可測)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとする。\(f\)が\(X\)上で単調であるならば、\(f\)はルベーグ可測関数である。
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例(単調な実数値関数はボレル可測)
全区間\(\mathbb{R} \)はボレル集合であるため、すなわち\(\mathbb{R} \in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)であるため、全区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}がボレル可測であるか検討できます。このような関数\(f\)が\(\mathbb{R} \)上で単調である場合には、先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例(恒等関数はボレル可測)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は恒等関数であるため単調増加であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例(指数関数はボレル可測)
関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} \)はボレル集合です。\(f\)は指数関数であるため単調増加であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
例(対数関数はボレル可測)
関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)の定義域\(\mathbb{R} _{++}\)はボレル集合です。\(f\)は対数関数であるため単調増加であり、したがって先の命題より、\(f\)はボレル可測関数です。
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