単調関数はルベーグ可測関数

ルベーグ集合上に定義された単調関数はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において単調関数であるものとします。つまり、\(f\)は単調増加関数であるか、単調減少関数であるか、その少なくとも一方であるということです。なお、\(f\)が単調増加関数であることは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\(f\)が単調減少関数であることは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。

以上の状況において、関数\(f\)は定義域\(X\)上においてルベーグ可測関数になります。ルベーグ可測集合上に定義された単調関数はルベーグ可測関数であるということです。

ボレル集合上に定義された単調関数はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。加えて、\(f\)は定義域\(X\)上において単調関数であるものとします。つまり、\(f\)は単調増加関数であるか、単調減少関数であるか、その少なくとも一方であるということです。

以上の状況において、関数\(f\)は定義域\(X\)上においてボレル可測関数になります。ボレル集合上に定義された単調関数はボレル可測関数であるということです。