単調関数は可測関数（ルベーグ可測・ボレル可測）

ルベーグ集合上に定義された単調な実数値関数はルベーグ可測

実数空間とルベーグ可測集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)と、実数空間と実数空間上のボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだ上で、実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

加えて、\(f\)は単調関数であるものとします。つまり、\(f\)は単調増加関数であるか、単調減少関数であるか、その少なくとも一方であるということです。なお、\(f\)が単調増加関数であることは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\leq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つことを意味し、\(f\)が単調減少関数であることは、\begin{equation*}\forall x,x^{\prime }\in X:\left[ x<x^{\prime }\Rightarrow f\left( x\right)
\geq f\left( x^{\prime }\right) \right] \end{equation*}が成り立つということです。この場合、\(f\)はルベーグ可測関数になることが保証されます。

ボレル集合上に定義された単調な実数値関数はルベーグ可測

実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)と、同じく実数空間とボレル集合族からなる可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right) \)が与えられているものとします。ボレル集合\(X\in \mathfrak{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を任意に選んだ上で、関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。

このような関数\(f\)が定義域\(X\)上で単調である場合、\(f\)がボレル可測関数になることが保証されます。