ルベーグ可測関数の最大値関数と最小値関数はルベーグ可測関数

有限個のルベーグ可測関数の最大値関数はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。

点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最大値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\max \left\{ f,g\right\} \left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\max \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

以上の命題は2つのルベーグ可測関数に関するものですが、有限個のルベーグ可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left( x\right)
=\max \left\{ f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。

有限個のルベーグ可測関数の最小値関数はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。

点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最小値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\min \left\{ f,g\right\} \left( x\right) =\min \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\min \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

以上の命題は2つのルベーグ可測関数に関するものですが、有限個のルベーグ可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left( x\right)
=\min \left\{ f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になります。

有限個のボレル可測関数の最大値関数はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。

点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最大値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\max \left\{ f,g\right\} \left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\max \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

以上の命題は2つのボレル可測関数に関するものですが、有限個のボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left( x\right)
=\max \left\{ f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。

有限個のボレル可測関数の最小値関数はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする2つの拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。

点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの拡大実数からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の有限な部分集合の最小値は1つの拡大実数として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\min \left\{ f,g\right\} \left( x\right) =\min \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
\min \left\{ f,g\right\} :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

以上の命題は2つのボレル可測関数に関するものですが、有限個のボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする有限個の拡大実数値ボレル可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。その上で、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( \min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\right) \left( x\right)
=\min \left\{ f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を値として定める拡大実数値関数\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義すると、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になります。

演習問題