可測関数どうしの最大値と最小値は可測関数

有限個の可測関数の最大値は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つのルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの実数からなる集合です。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最大値は1つの有限な実数として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\max \left( f,g\right) \left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max \left( f,g\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

上の命題は2つの可測関数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の可測関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、有限\(n\)個のルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}を定義します。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最大値は1つの有限な実数として定まることが定まるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\left( x\right) =\max \left\{
f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

有限個の可測関数の最小値は可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つのルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}を定義します。点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの実数からなる集合です。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最小値は1つの有限な実数として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\min \left( f,g\right) \left( x\right) =\min \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min \left( f,g\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

上の命題は2つの可測関数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の可測関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、有限\(n\)個のルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{gather*}を定義します。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最大値は1つの有限な実数として定まることが定まるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の実数\begin{equation*}\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\left( x\right) =\min \left\{
f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義できますが、これもまたルベーグ可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

有限個の拡大実数値可測関数の最大値は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの拡大実数値からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合の最大値は1つの拡大実数値として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\max \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\max \left( f,g\right) \left( x\right) =\max \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max \left( f,g\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

上の命題は2つの可測関数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の可測関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、有限\(n\)個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最大値は1つの拡大実数値として定まることが定まるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\left( x\right) =\max \left\{
f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\max_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

拡大実数値ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。

有限個の拡大実数値可測関数の最小値は拡大実数値可測関数

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。点\(x\in X\)を任意に選んだ上で、\begin{equation*}\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}をとります。つまり、\begin{equation*}
\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} =\left\{
\begin{array}{cc}
g\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) \geq g\left( x\right)
\right) \\
f\left( x\right) & \left( if\ f\left( x\right) <g\left( x\right) \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}です。\(\left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \)は2つの拡大実数値からなる集合です。\(\overline{\mathbb{R} }\)の部分集合の最小値は1つの拡大実数値として定まるため、\begin{equation*}\forall x\in X:\min \left\{ f\left( x\right) ,g\left( x\right) \right\} \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。このような事情を踏まえると、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\min \left( f,g\right) \left( x\right) =\min \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min \left( f,g\right) :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

上の命題は2つの可測関数に関するものですが、有限個である限りにおいて、任意個の可測関数についても同様の主張が成り立ちます。具体的には以下の通りです。

可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right) \)が与えられた状況においてルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選び、有限\(n\)個の拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{gather*}f_{1}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
\vdots \\
f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{gather*}を定義します。\(\mathbb{R} \)の有限な部分集合の最小値は1つの拡大実数値として定まることが定まるため、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数値\begin{equation*}\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}\left( x\right) =\min \left\{
f_{1}\left( x\right) ,\cdots ,f_{n}\left( x\right) \right\}
\end{equation*}を定める新たな写像\begin{equation*}
\min_{i\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} }f_{i}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義できますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

拡大実数値ボレル可測関数に関しても同様の主張が成り立ちます。証明は先の命題と同様です。