ルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測関数

ルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値ルベーグ可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。

点\(x\in X\)を選んだ上で固定し、\(x\)に対してそれぞれの関数\(f_{n}\)が定める値からなる拡大実数列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \right\}
\end{equation*}をとります。拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が得られれば、それが拡大実数へ収束するか検討できます。拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が拡大実数へ収束する場合、すなわち、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は点\(x\in X\)において各点収束する（pointwise convergent at \(x\)）と言います。これは、点\(x\)が実現した場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値からなる拡大実数列\(f_{1}\left( x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \)が特定の拡大実数へ限りなく近づくことを意味します。

点\(x\in X\)を変えればそれに応じて異なる拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)が得られますが、それらの拡大実数列の中には拡大実数へ収束するものとそうでないものが存在する可能性があります。ただ、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left(x\right) \right\} \)が集合\(X\)上の任意の点において各点収束する場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) \in
\overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束する（pointwise convergent）とか確実収束する（sure convergent）などと言います。これは、どのような点\(x\in X\)が実現した場合においても、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値からなる拡大実数列\(f_{1}\left(x\right) ,f_{2}\left( x\right) ,\cdots \)が必ず拡大実数へ限りなく近づくことを意味します。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する場合には以下の条件\begin{equation}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) \in
\overline{\mathbb{R} } \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つため、それぞれの点\(x\in X\)に対して以下の拡大実数\begin{equation}f\left( x\right) =\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能です。\(\left(1\right) ,\left( 2\right) \)より、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}が成り立ちます。イプシロン・エヌ論法を用いてこれを表現すると、\begin{equation*}
\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。つまり、どのような点\(x\in X\)が実現した場合においても、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の要素である関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が定める値からなる拡大実数\(f_{1}\left( x\right),f_{2}\left( x\right) ,\cdots \)が必ず、関数\(f\)が定める値\(f\left( x\right) \)へ限りなく近づくことを意味します。このような事情を踏まえた上で、以上のように定義される関数\(f\)を関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の各点極限（pointwise limit）と呼びます。その上で、関数\(f\)が関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の各点極限であることを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{pointwise}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
f_{n}\overset{p.w.}{\rightarrow }f
\end{equation*}などで表記します。

改めて整理すると、実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が各点収束する場合、その各点極限は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}を満たす拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)として定義されますが、これもまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

ほとんどいたるところで各点収束するルベーグ可測関数列の各点極限はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)の各点極限が\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)であることは、\(X\)上の任意の点\(x\)について、拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right)\right\} \)が拡大実数\(f\left( x\right) \)へ収束することを意味しますが、これは条件として厳しすぎます。一方、\(X\)上のほとんどすべての点\(x\)において拡大実数列\(\left\{ f_{n}\left(x\right) \right\} \)が拡大実数\(f\left( x\right) \)へ収束する場合には、すなわち、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in X\ |\ \lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right)
\not=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}のルベーグ測度が、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash A:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right)
=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(X\)上のほとんどいたるところで\(f\)に各点収束する（converges to \(f\) pointwise almost everywhere on \(X\)）と言い、そのことを、\begin{equation*}f_{n}\rightarrow f\quad \text{a.e.}
\end{equation*}または、\begin{equation*}
f_{n}\overset{a.e.}{\rightarrow }f
\end{equation*}などで表記します。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f\)へ各点収束する場合には、\(f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

ボレル可測関数列の各点極限はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値ボレル可測関数の列\begin{equation*}\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }=\left\{ f_{1},f_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を定義します。つまり、この関数列の一般項は\(X\)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}です。このような関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が各点収束する場合、その各点極限は以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right) =f\left(
x\right)
\end{equation*}を満たす拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)として定義されますが、これもまた拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

ほとんどいたるところで各点収束するボレル可測関数列の各点極限はボレル可測関数であるとは限らない

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束することとは、以下の集合\begin{equation*}A=\left\{ x\in X\ |\ \lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right)
\not=f\left( x\right) \right\}
\end{equation*}のボレル測度が、\begin{equation*}
\mu \left( A\right) =0
\end{equation*}であるとともに、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash A:\lim_{n\rightarrow +\infty }f_{n}\left( x\right)
=f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束する場合には、先に示したように、\(f\)もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。以上の主張の証明はルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)が完備であるという事実に依拠しています。一方、ボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)は完備ではないため、ボレル可測関数列について同様の主張は成り立つとは限りません。つまり、実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)上に定義された拡大実数値ボレル可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} _{n\in \mathbb{N} }\)が\(X\)上のほとんどいたるところで拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束する場合、\(f\)は拡大実数値ボレル可測関数になるとは限らないということです。

演習問題