各点収束する関数列と一様収束する関数列の関係

関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束するならば、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束する。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列が一様収束することを示します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを示すことが目標です。任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\right\vert \leq \frac{1}{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-0\right\vert \leq \frac{1}{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert
\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right)
\right\vert \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって、先の命題より\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。つまり、点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n}=0
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(x=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( 0\right) }{n}\quad \because
x=0 \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{0}{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(x\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x\cdot \frac{\sin \left( nx\right) }{nx}\right) \quad \because x\not=0 \\
&=&x\lim_{y\rightarrow \infty }\left( \frac{\sin \left( y\right) }{y}\right)
\quad \because y=nx \\
&=&x\cdot 0\quad \because \text{三角関数の極限公式} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束しますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束します。実際、\(x=1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 1\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1^{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(x\in \lbrack 0,1)\)を満たす\(x\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x^{n} \\
&=&0\quad \because x\in \lbrack 0,1)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。その一方で、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません。そこで、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束するものと仮定して矛盾を導きます。この場合、先の命題より、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は先の関数\(f\)へ一様収束することになります。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x^{n}-f\left( x\right) \right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。実際には、これは成り立ちません。なぜなら、\begin{equation}
0<\varepsilon \leq x<1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon \)および\(x\)に注目したとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{n}-f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
x^{n}-0\right\vert \quad \because 0\leq x<1 \\
&=&\left\vert x^{n}\right\vert \\
&=&x^{n}\quad \because \left( 2\right) \\
&\geq &\varepsilon ^{n}\quad \because \left( 2\right) \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left( 1\right) \)と矛盾するからです。以上より、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しないことが明らかになりました。

関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列は各点収束する一方で一様収束しないことを示してください。