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関数列

各点収束する関数列と一様収束する関数列の関係

目次

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一様収束する関数列は各点収束する

定義域\(X\subset \mathbb{R} \)を共有する関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられている状況を想定します。つまり、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)の一般項は\(X\)上に定義された関数\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}です。関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が極限関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ各点収束することは、\begin{equation}\forall x\in X,\ \forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味する一方、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が極限関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことを意味しますが、両者の違いは量化記号\begin{equation*}
\forall x\in X
\end{equation*}の相対的な位置だけです。

各点収束の定義\(\left( 1\right) \)において\(\forall x\in X\)は\(\exists n\in \mathbb{N} \)よりも前に置かれているため、\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)の位置に依存します。点\(x\)が変われば\(\left( 1\right) \)を満たす\(N\)の値もまた変化するということです。一方、一様収束の定義\(\left( 2\right) \)において\(\forall x\in X\)は\(\exists N\in \mathbb{N} \)よりも後に置かれているため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の水準は点\(x\)のとり方に依存しません。点\(x\)が変わっても\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)の値は変化しないということです。したがって、\(\left( 2\right) \)中の\(N\)に課される制約は\(\left( 1\right) \)中の\(N\)に課される制約よりも厳しいため、\(\left( 2\right) \)を満たす\(N\)は必然的に\(\left(1\right) \)を満たします。つまり、\(\left( 2\right) \)が成り立つ場合には\(\left( 1\right) \)もまた成り立つこと、すなわち、一様収束する関数列は各点収束するということです。実際、これは正しい予想です。しかも、関数列が一様収束する先の極限関数と、各点収束する先の極限関数は一致します。

命題(一様収束する関数列は各点収束する)
関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が与えられているものとする。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束するならば、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束する。
証明

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例(一様収束する関数列は各点収束する)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列が一様収束することを示します。具体的には、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}を満たす関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを示すことが目標です。任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{equation*}\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}\right\vert \leq \frac{1}{n}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-0\right\vert \leq \frac{1}{n}
\quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立ちます。そこで、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定める関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を定義すると、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation}\forall x\in \mathbb{R} ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right) \right\vert
\leq \frac{1}{n} \quad \cdots (2)
\end{equation}を得ます。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\begin{equation}\frac{1}{N}<\varepsilon \quad \cdots (3)
\end{equation}を満たす番号\(N\in \mathbb{N} \)を選べば、任意の\(x\in \mathbb{R} \)および\(n\geq N\)を満たす任意の\(n\in \mathbb{N} \)に対して、\begin{eqnarray*}n\geq N &\Rightarrow &\frac{1}{n}\leq \frac{1}{N} \\
&\Rightarrow &\frac{1}{n}<\varepsilon \quad \because \left( 3\right) \\
&\Rightarrow &\left\vert \frac{\sin \left( nx\right) }{n}-f\left( x\right)
\right\vert \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となるため証明が完了しました。したがって、先の命題より\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。つまり、点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、数列\(\left\{ f_{n}\left( x\right) \right\} \)について、\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n}=0
\end{equation*}が成り立つということです。実際、\(x=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( 0\right) }{n}\quad \because
x=0 \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{0}{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }0 \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(x\not=0\)の場合には、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }\frac{\sin \left( nx\right) }{n}
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }\left( x\cdot \frac{\sin \left( nx\right) }{nx}\right) \quad \because x\not=0 \\
&=&x\lim_{y\rightarrow \infty }\left( \frac{\sin \left( y\right) }{y}\right)
\quad \because y=nx \\
&=&x\cdot 0\quad \because \text{三角関数の極限公式} \\
&=&0
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束しますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。

 

各点収束する関数列は一様収束するとは限らない

一様収束する関数列は各点収束することが明らかになりましたが、後に提示する具体例から明らかであるように、その逆は成り立つとは限りません。つまり、各点収束する関数は一様連続であるとは限らないということです。

関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を一般項とする関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)へ一様収束することは、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in X,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。したがって、\(f\)が一様収束しないこととは、以上の条件を満たす関数\(f\)が存在しないこと、すなわち、任意の関数\(f\)に対して上の命題の否定に相当する、\begin{equation}\exists \varepsilon >0,\ \forall N\in \mathbb{N} ,\ \exists x\in X,\ \exists n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\wedge \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert \geq \varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つことを意味します。ただ、任意の関数\(f\)に関して\(\left(1\right) \)が成り立つことを確かめるのは大変です。一方、関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が各点収束することが判明しており、さらにその極限関数\(f\)が明らかになっている場合には、その関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束しないことを比較的容易に示すことができます。具体的には、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)が一様収束するものと仮定する場合、先の命題より、その極限は各点収束する先の関数\(f\)と一致することが保証されるため、その関数\(f\)に対してのみ\(\left( 1\right) \)が成り立つことを示せば、その間数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束しないことを示したことになります。以下が具体例です。

例(各点収束するが一様収束しない関数列)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \left[0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =x^{n}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は各点収束します。実際、\(x=1\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( 1\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }1^{n} \\
&=&\lim_{n\rightarrow \infty }1 \\
&=&1
\end{eqnarray*}が成り立ち、\(x\in \lbrack 0,1)\)を満たす\(x\)については、\begin{eqnarray*}\lim_{n\rightarrow \infty }f_{n}\left( x\right) &=&\lim_{n\rightarrow
\infty }x^{n} \\
&=&0\quad \because x\in \lbrack 0,1)
\end{eqnarray*}が成り立つため\(\left\{f_{n}\right\} \)は各点収束し、極限関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ x=1\right) \\
0 & \left( if\ x\in \lbrack 0,1)\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。その一方で、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しません。そこで、\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様収束するものと仮定して矛盾を導きます。この場合、先の命題より、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は先の関数\(f\)へ一様収束することになります。つまり、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert f_{n}\left( x\right) -f\left( x\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation}
\forall \varepsilon >0,\ \exists N\in \mathbb{N} ,\ \forall x\in \left[ 0,1\right] ,\ \forall n\in \mathbb{N} :\left( n\geq N\Rightarrow \left\vert x^{n}-f\left( x\right) \right\vert
<\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}が成り立つということです。実際には、これは成り立ちません。なぜなら、\begin{equation}
0<\varepsilon \leq x<1 \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たす\(\varepsilon \)および\(x\)に注目したとき、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\left\vert x^{n}-f\left( x\right) \right\vert &=&\left\vert
x^{n}-0\right\vert \quad \because 0\leq x<1 \\
&=&\left\vert x^{n}\right\vert \\
&=&x^{n}\quad \because \left( 2\right) \\
&\geq &\varepsilon ^{n}\quad \because \left( 2\right) \\
&>&\varepsilon \quad \because \left( 2\right)
\end{eqnarray*}となり、これは\(\left( 1\right) \)と矛盾するからです。以上より、\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様収束しないことが明らかになりました。

 

演習問題

問題(各点収束と一様収束の関係)
関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)の一般項は、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{n}\left( x\right) =\frac{nx}{1+n^{2}x^{2}}
\end{equation*}を定める関数\(f_{n}:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)であるものとします。この関数列は各点収束する一方で一様収束しないことを示してください。
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各点収束する関数列

関数列が各点収束することの意味を定義するとともに、その場合の関数列の極限、すなわち極限関数を具体的に特定する方法を解説します。