ルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数

ルベーグ可測関数どうしの積はルベーグ可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu }\right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。加えて、この関数\(f\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。

先のような関数\(f\)が与えられれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}f^{2}\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f^{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f^{2}\)もまた\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数であるものとします。

拡大実数値関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(fg\)もまた\(X\)上において拡大実数値ルベーグ可測関数になることが保証されます。

先の命題では2つの拡大実数値ルベーグ可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定しています。この条件が成り立たない場合、すなわち、\begin{equation*}
\exists x\in X:f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \not\in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が成り立つ場合には、そもそも関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が定義可能であるため、\(fg\)がルベーグ可測であるか検討することさえできません。具体例を挙げると、何らかの\(x\in X\)のもとで、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&+\infty \\
g\left( x\right) &=&0
\end{eqnarray*}が成り立つ場合、これらの積\begin{equation*}
f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) =\left( +\infty \right) \cdot 0
\end{equation*}は不定形になってしまうため、この場合、関数\(fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)を定義できず、したがって\(fg\)はルベーグ可測ではありません。

ボレル可測関数どうしの積はボレル可測関数

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のボレル集合族\(\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)からなる可測空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。加えて、この関数\(f\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。

先のような関数\(f\)が与えられれば、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}f^{2}\left( x\right) =\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
f^{2}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(f^{2}\)もまた\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

実数空間\(\mathbb{R} \)上のボレル集合\(X\in \mathcal{B}\left( \mathbb{R} \right) \)を選んだ上で、\(X\)を定義域とする拡大実数値関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} } \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{eqnarray*}を定義します。加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数であるものとします。

拡大実数値関数\(f,g\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす場合には、それぞれの\(x\in X\)に対して、以下の拡大実数\begin{equation*}\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める新たな拡大実数値関数\begin{equation*}
fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が定義可能ですが、この関数\(fg\)もまた\(X\)上において拡大実数値ボレル可測関数になることが保証されます。

先の命題では2つの拡大実数値ボレル可測関数\(f,g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \in \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を満たす状況を想定していますが、その理由はルベーグ可測関数の場合と同様です。

演習問題