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ルベーグ積分

有界関数どうしの和のルベーグ積分

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有界なルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能です。したがって、\(f\)および\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f \\
\int_{X}g &=&\overline{\int }_{X}g=\underline{\int }_{X}g
\end{eqnarray*}としてそれぞれ定まります。

以上の状況において、関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。ルベーグ可測関数どうしの和として定義される関数はルベーグ可測関数であるため、\(f+g\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数です。したがって、\(f+g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\overline{\int }_{X}\left( f+g\right) =\underline{\int }_{X}\left( f+g\right)
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、関数\(f+g\)のルベーグ積分ともとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ルベーグ可測関数\(f,g\)のルベーグ積分の和をとれば、それはルベーグ可測関数\(f+g\)のルベーグ積分と一致します。

命題(有界なルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとする。この場合、\(f\)と\(g\)はともに\(X\)上でルベーグ積分可能である。関数\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f+g\)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数であるため、\(f+g\)もまた\(X\)上で積分可能である。この場合、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(有界なルベーグ可測関数どうしの和のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。実数\(\alpha,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f+\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数になります。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) &=&\int_{X}\alpha f+\int_{X}\beta
g\quad \because \text{有界なルベーグ可測関数の和のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g\quad \because \text{有界なルベーグ可測関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) =\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g
\end{equation*}を得ます。以上の性質を有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分の線形性(linearity)と呼びます。

 

有界かつルベーグ積分可能な関数どうしの和のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの有界な関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

加えて、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。この場合、\(f\)および\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f \\
\int_{X}g &=&\overline{\int }_{X}g=\underline{\int }_{X}g
\end{eqnarray*}としてそれぞれ定まります。

以上の状況において、関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界な関数ですが、この関数もまた\(X\)上でルベーグ可測になることが保証されます。加えて、関数\(f+g\)のルベーグ積分ともとの2つの関数\(f,g\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、もとの関数\(f,g\)のルベーグ積分の和をとれば、それは関数\(f+g\)のルベーグ積分と一致します。

命題(有界かつルベーグ積分可能な関数の和のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとする。関数\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f+g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つ。

証明

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例(有界関数どうしの和のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。実数\(\alpha,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f+\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界関数になります。さらに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) &=&\int_{X}\alpha f+\int_{X}\beta
g\quad \because \text{有界関数の和のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g\quad \because \text{有界関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) =\alpha \int_{X}f+\beta \int_{X}g
\end{equation*}を得ます。以上の性質を有界関数のルベーグ積分の線形性(linearity)と呼びます。

 

演習問題

問題(有界かつルベーグ積分可能な関数の和のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。関数\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、\(f+g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) =\int_{X}f+\int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことは本文中で示した通りです。ただし、本文中の証明では、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数が\(X\)上でルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるという事実を利用しました。この事実を利用せず、先の主張が成り立つことを示してください。
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関連知識

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