有界関数どうしの和のルベーグ積分
実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする2つの有界な関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。
以上の状況において関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。関数\(f,g\)がともにルベーグ積分可能である場合には関数\(f+g\)もまたルベーグ積分可能であるとともに、これらの関数のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu +\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。つまり、関数\(f,g\)のルベーグ積分の和をとれば、それは関数\(f+g\)のルベーグ積分と一致します。
\end{equation*}が成り立つ。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため\(f,g\)は\(X\)上においてルベーグ積分可能です。関数\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。すると先の命題より\(f+g\)もまた\(X\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu +\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上においてルベーグ積分可能であるものとします。実数\(\alpha ,\beta \in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、以下の関数\begin{equation*}\alpha f+\beta g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これもまた\(X\)上に定義された有界関数であるとともにルベーグ積分可能であるとともに、\begin{eqnarray*}\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) d\mu &=&\int_{X}\alpha fd\mu
+\int_{X}\beta gd\mu \quad \because \text{有界関数の和のルベーグ積分} \\
&=&\alpha \int_{X}fd\mu +\beta \int_{X}gd\mu \quad \because \text{有界関数の定数倍のルベーグ積分}
\end{eqnarray*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}\left( \alpha f+\beta g\right) d\mu =\alpha \int_{X}fd\mu +\beta
\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。以上の性質を有界関数のルベーグ積分の線形性（linearity）と呼びます。
演習問題
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}がともに\(X\)上でルベーグ積分可能であるものとします。関数\begin{equation*}f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、本文中で示した命題より、\(f+g\)もまた\(X\)上でルベーグ積分可能であるとともに、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}\left( f+g\right) d\mu =\int_{X}fd\mu +\int_{X}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。本文中の証明では、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるという事実を利用しました。この事実を利用せず、同様の主張が成り立つことを示してください。
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