一般化されたヴィタリの収束定理

ヴィタリの収束定理は成り立つとは限らない

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で一様可積分であるものとします。さらに、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。以上の条件のもとでは、関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(X\)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}が成り立ちます（ヴィタリの収束定理）。

以上の結果は\(X\)が有限測度を持つ持つという仮定に依存しています。\(X\)の測度が有限ではない場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様可積分であっても、個々の関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能であることを保証できません。また、すべて関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能であったとしても、それらのルベーグ積分の間に以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}は成り立つとは限りません。

まずは、個々の関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能ではないケースを提示します。

続いて、個々の関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能である一方で、それらのルベーグ積分の間に以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}が成り立たないケースを提示します。

ルベーグ可測集合\(X\)の測度が有限ではない状況においてヴィタリの収束定理の主張が成り立つことを保証するためには追加的な条件が必要です。順番に考えます。

緊密なルベーグ可測関数列

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測であるため、以下の関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}もまたルベーグ可測です。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\(X\)の部分集合であり、なおかつ有限な測度を持つルベーグ可測関数\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在して、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\int_{X\backslash A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことが保証されるのであれば、もとの関数\(f\)は\(X\)上において緊密（tight）であると言います。

改めて整理すると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上で緊密であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset
X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty \wedge \int_{X\backslash A}\left\vert
f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が与えられているものとします。その上で、\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)をとります。つまり、この関数列の一般項\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数であるということです。

この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)から新たに関数列\(\left\{ \left\vert f_{n}\right\vert \right\} \)を定義します。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測であるため、この関数列の一般項\begin{equation*}\left\vert f_{n}\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。加えて、\(\left\vert f_{n}\right\vert \)は非負値をとるため、\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f_{n}\right\vert
\end{equation*}をとることができます。これは非負の拡大実数として定まることに注意してください。

正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\(X\)の部分集合であり、なおかつ有限な測度を持つルベーグ可測関数\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在して、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\int_{X\backslash A}\left\vert f_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことが保証されるのであれば、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(X\)上において一様緊密（uniformly tight）であると言います。

改めて整理すると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で緊密であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset
X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty \wedge \forall n\in \mathbb{N} :\int_{X\backslash A}\left\vert f_{n}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、どのような正の実数\(\varepsilon \)に対しても、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が緊密になるような集合\(A\)が存在することを保証できる場合には、その関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を一様緊密と言うということです。

一般化されたヴィタリの収束定理

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で一様可積分であるものとします。さらに、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。\(X\)の測度が有限である場合にはヴィタリの収束定理が成立しますが、ここでは\(X\)の測度が必ずしも有限ではない状況を想定しているため、このままではヴィタリの収束定理は成立しません。ただ、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で一様緊密であるという条件を加えることにより、この場合にもヴィタリの収束定理が成り立つことを保証できます。つまり、以上の条件のもとでは、関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(X\)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}が成り立つということです。これを一般化されたヴィタリの収束定理（general Vitalli convergence theorem）と呼びます。

まずは以下の命題を示します。

以上の命題を踏まえた上で一般化されたヴィタリの収束定理を示します。

演習問題