ヴィタリの収束定理は成り立つとは限らない
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で一様可積分であるものとします。さらに、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。以上の条件のもとでは、関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(X\)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}が成り立ちます(ヴィタリの収束定理)。
以上の結果は\(X\)が有限測度を持つ持つという仮定に依存しています。\(X\)の測度が有限ではない場合には、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が一様可積分であっても、個々の関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能であることを保証できません。また、すべて関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能であったとしても、それらのルベーグ積分の間に以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}は成り立つとは限りません。
まずは、個々の関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能ではないケースを提示します。
\end{equation*}と定義します。その一方で、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}f=1
\end{equation*}と定義します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f_{n}\)は非負値をとるルベーグ可測関数であり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。その一方で、関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能ではありません。したがって、ヴィタリの収束定理の主張は成り立ちません。
続いて、個々の関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)がルベーグ積分可能である一方で、それらのルベーグ積分の間に以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}が成り立たないケースを提示します。
\end{equation*}と定義します。ただし、\(\chi _{\left[ n,n+1\right] }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は区間\(\left[ n,n+1\right] \)に関する特性関数であり、\begin{equation*}\chi _{\left[ n,n+1\right] }\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \left( if\ n\leq x\leq n+1\right) \\
0 & \left( otherwise\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}と定義されます。その一方で、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =0
\end{equation*}と定義します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f_{n}\)は非負値をとるルベーグ可測関数であり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束します。加えて、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上で一様可積分です。また、関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(\mathbb{R} \)上でルベーグ積分可能であるものの、\begin{equation*}\int_{\mathbb{R} }f\not=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R} }f_{n}
\end{equation*}が成り立ちます(演習問題)。
ルベーグ可測集合\(X\)の測度が有限ではない状況においてヴィタリの収束定理の主張が成り立つことを保証するためには追加的な条件が必要です。順番に考えます。
緊密なルベーグ可測関数列
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測であるため、以下の関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}もまたルベーグ可測です。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\(X\)の部分集合であり、なおかつ有限な測度を持つルベーグ可測関数\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在して、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\int_{X\backslash A}\left\vert f\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことが保証されるのであれば、もとの関数\(f\)は\(X\)上において緊密(tight)であると言います。
改めて整理すると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が\(X\)上で緊密であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset
X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty \wedge \int_{X\backslash A}\left\vert
f\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。
\end{equation*}を定めるものとします。区間\(\left[ 0,1\right] \)はルベーグ可測集合であり、ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測関数であるため\(f\)はルベーグ可測です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。ルベーグ可測集合\(\left[ 0,1\right] \)の測度は\(\mu \left( \left[ 0,1\right] \right) =1\)であるためこれは有限測度を持ちます。加えて、\begin{eqnarray*}\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }\left\vert f\right\vert &=&\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }\left\vert \chi _{\left[ 0,1\right] }\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }\chi _{\left[ 0,1\right] }\quad \because \text{特性関数の定義} \\
&=&\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }0\quad \because \text{特性関数の定義} \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}となるため\(f\)は\(\mathbb{R} \)上で緊密です。
\end{equation*}を定めるものとします。定数関数はルベーグ可測関数であるため\(f\)はルベーグ可測です。\(A\subset X\)かつ\(\mu \left( A\right)<+\infty \)を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\int_{\mathbb{R} \backslash A}\left\vert f\right\vert &=&\int_{\mathbb{R} \backslash A}1\quad \because f\text{の定義} \\
&=&1\cdot \mu \left( \mathbb{R} \backslash A\right) \\
&=&\mu \left( \mathbb{R} \right) -\mu \left( A\right) \quad \because \mu \left( A\right) <+\infty
\text{および}\mu \text{の減法性} \\
&=&+\infty -\mu \left( A\right) \\
&=&+\infty \\
&>&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は\(X\)上で緊密ではないことが明らかになりました。
ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)が与えられた状況に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が与えられているものとします。その上で、\(X\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数からなる関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)をとります。つまり、この関数列の一般項\begin{equation*}f_{n}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}は拡大実数値ルベーグ可測関数であるということです。
この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)から新たに関数列\(\left\{ \left\vert f_{n}\right\vert \right\} \)を定義します。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測であるため、この関数列の一般項\begin{equation*}\left\vert f_{n}\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}もまた拡大実数値ルベーグ可測関数です。加えて、\(\left\vert f_{n}\right\vert \)は非負値をとるため、\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f_{n}\right\vert
\end{equation*}をとることができます。これは非負の拡大実数として定まることに注意してください。
正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。それに対して、\(X\)の部分集合であり、なおかつ有限な測度を持つルベーグ可測関数\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在して、以下の条件\begin{equation*}\forall n\in \mathbb{N} :\int_{X\backslash A}\left\vert f_{n}\right\vert <\varepsilon
\end{equation*}が成り立つことが保証されるのであれば、もとの関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(X\)上において一様緊密(uniformly tight)であると言います。
改めて整理すると、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で緊密であることとは、以下の条件\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists A\in \mathfrak{M}_{\mu }:\left( A\subset
X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty \wedge \forall n\in \mathbb{N} :\int_{X\backslash A}\left\vert f_{n}\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、どのような正の実数\(\varepsilon \)に対しても、すべての関数\(f_{1},f_{2},\cdots \)が緊密になるような集合\(A\)が存在することを保証できる場合には、その関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)を一様緊密と言うということです。
\end{equation*}と定義します。\(f_{n}\)はルベーグ可測集合\(\left[ 0,\frac{n}{n+1}\right] \)に関する特性関数であるためルベーグ可測です。\(\varepsilon >0\)を任意に選びます。ルベーグ可測集合\(\left[ 0,1\right] \)の測度は\(\mu \left( \left[ 0,1\right]\right) =1\)であるためこれは有限測度を持ちます。加えて、任意の\(n\in \mathbb{N} \)について、\begin{eqnarray*}\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }\left\vert f\right\vert &=&\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }\left\vert \chi _{\left[ 0,\frac{n}{n+1}\right] }\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }\chi _{\left[ 0,\frac{n}{n+1}\right] }\quad
\because \text{特性関数の定義} \\
&=&\int_{\mathbb{R} \backslash \left[ 0,1\right] }0\quad \because \text{特性関数の定義} \\
&=&0 \\
&<&\varepsilon \quad \because \varepsilon >0
\end{eqnarray*}となるため\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上で一様緊密です。
\end{equation*}と定義します。\(f_{n}\)はルベーグ可測です。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様緊密ではありません(演習問題)。
\end{equation*}と定義します。\(f_{n}\)はルベーグ可測集合\(\left[ n,n+1\right] \)に関する特性関数であるためルベーグ可測です。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は一様緊密ではありません(演習問題)。
一般化されたヴィタリの収束定理
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で一様可積分であるものとします。さらに、この関数列\(\left\{f_{n}\right\} \)は\(X\)上において拡大実数値関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)へ各点収束するものとします。\(X\)の測度が有限である場合にはヴィタリの収束定理が成立しますが、ここでは\(X\)の測度が必ずしも有限ではない状況を想定しているため、このままではヴィタリの収束定理は成立しません。ただ、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)が\(X\)上で一様緊密であるという条件を加えることにより、この場合にもヴィタリの収束定理が成り立つことを保証できます。つまり、以上の条件のもとでは、関数\(f,f_{1},f_{2},\cdots \)はいずれも\(X\)上でルベーグ積分可能になることが保証されるとともに、以下の関係\begin{equation*}\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{X}f_{n}=\int_{X}f
\end{equation*}が成り立つということです。これを一般化されたヴィタリの収束定理(general Vitalli convergence theorem)と呼びます。
まずは以下の命題を示します。
以上の命題を踏まえた上で一般化されたヴィタリの収束定理を示します。
\end{equation*}が成り立つ。
演習問題
\end{equation*}と定義します。その一方で、関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =0
\end{equation*}と定義します。任意の\(n\in \mathbb{N} \)について\(f_{n}\)は非負値をとるルベーグ可測関数であり、関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(f\)へ各点収束することを示してください。加えて、この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は\(\mathbb{R} \)上で一様可積分であることを示してください。また、\begin{equation*}\int_{\mathbb{R} }f\not=\lim_{n\rightarrow \infty }\int_{\mathbb{R} }f_{n}
\end{equation*}が成り立つことを示してください。
\end{equation*}と定義します。\(f_{n}\)はルベーグ可測集合\(\left[ n,n+1\right] \)に関する特性関数であるためルベーグ可測です。この関数列\(\left\{ f_{n}\right\} \)は緊密ではないことを示してください。
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