非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

ルベーグ可測関数の台

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このとき、\(f\left( x\right) \)の値が非ゼロになるような\(x\)の値からなる集合を、\begin{equation*}\mathrm{supp}f=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}で表記し、これを\(f\)の台（support）と呼びます。

ルベーグ可測関数の台はルベーグ可測集合です。

ルベーグ可測関数\(f\)が非負値をとる場合には、その台は\(f\)による区間\(\left( 0,+\infty \right) \)の逆像と一致します。

有限な台を持つルベーグ可測関数

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、\(f\)の台はルベーグ可測集合であるため、ルベーグ測度\(\mu \)はその測度\begin{equation*}\mu \left( \mathrm{supp}f\right) =\mu \left( \left\{ x\in X\ |\ f\left(
x\right) \not=0\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定します。その上で、その値が有限である場合には、すなわち、\begin{equation*}
0\leq \mu \left( \mathrm{supp}f\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は有限な台（finite support）を持つと言います。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ 0\leq \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在する状況を想定します。つまり、\(A\)は\(X\)の部分集合であり、有限測度を持ち、なおかつ\(f\)は\(A\)の外側の点においてゼロだけを値としてとるということです。このことを指して、\(f\)は\(A\)の外側で消える（\(f\) vanishes outside of \(A\)）と言います。

以上の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)が存在することと、\(f\)が有限な台を持つことは必要十分です。

有限な台を持つ有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であり、なおかつ有限な台を持つものとします。この場合には、\begin{equation*}0\leq \mu \left( \mathrm{supp}f\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義域を\(X\)から\(\mathrm{supp}f\)へ縮小することにより、\(f\)は有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数になるため、\(f\)の\(\mathrm{supp}f\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{\mathrm{supp}f}fd\mu
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まることが保証されます。その一方で、台の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash \mathrm{supp}f:f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\int_{\mathrm{supp}f}fd\mu
\end{equation*}と定義します。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であり、なおかつ有限な台を持つものとします。先に示したように、\(f\)が有限な台を持つことと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ 0\leq \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在することは必要十分です。この場合、\(\left(b\right) \)を踏まえると、\(f\)の定義域を\(X\)から\(A\)へ縮小することにより、\(f\)は有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数になるため、\(f\)の\(A\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{A}fd\mu
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まることが保証されます。さらに、以上の条件を満たすどのようなルベーグ可測集合\(A\)を選んだ場合でも、以下の関係\begin{equation*}\int_{\mathrm{supp}f}fd\mu =\int_{A}fd\mu
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =\int_{A}fd\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を、先の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)を用いて定義することもできるということです。

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

実数空間\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。\(X\)の測度は有限であるとは限らず、また\(f\)は実数値関数であるとは限らないことに注意してください。言い換えると、\(X\)が無限大の測度を持つ場合や、\(f\)が拡大実数を値としてとり得る状況を許容するということです。ただし、この関数\(f\)は非負の値だけをとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。より一般なケース、すなわち\(f\)が負の値を取り得るケースについては後ほど扱います。

以上の条件を満たす拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)のルベーグ積分を定義するにあたり、それに対して、以下の条件を満たす有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。

1つ目の条件は、関数\(g\)は\(X\)上において有界であること、すなわち、\(g\)の値域\begin{equation*}g\left( X\right) =\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が\(\mathbb{R} \)上の有界な部分集合であるということです。

2つ目の条件は、関数\(g\)が定める値は関数\(f\)が定める値以下であるということ、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq g\left( x\right) \leq f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq g\leq f
\end{equation*}が成り立つということです。

3つ目の条件は、関数\(g\)が有限な台を持つということ、すなわち、\begin{equation*}0\leq \mu \left( \mathrm{supp}g\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、2番目の仮定より\(g\)は非負値をとるため、以上の条件は、\begin{equation*}0\leq \mu \left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right)
<+\infty
\end{equation*}が成り立つことと必要十分です。

非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、それに対して、先の3つの条件を満たすルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をとると、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}gd\mu =\int_{g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) }gd\mu
\end{equation*}が有限な実数として定まることが保証されます。同様の条件を満たすすべての関数に対してルベーグ積分をそれぞれ特定した上で、それらの値からなる集合をとり、それを、\begin{equation*}
\left\{ \int_{X}gd\mu \in \mathbb{R} \ \left\vert \
\begin{array}{l}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge \\
0\leq g\leq f\wedge \\
0\leq \mu \left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right)
<+\infty
\end{array}\right. \right\}
\end{equation*}で表記します。その上で、この集合の上限\begin{equation*}
\sup \left\{ \int_{X}gd\mu \in \mathbb{R} \ \left\vert \
\begin{array}{l}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge \\
0\leq g\leq f\wedge \\
0\leq \mu \left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right)
<+\infty
\end{array}\right. \right\}
\end{equation*}を\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分（Lebesgue integral of \(f\) over \(X\)）と呼び、\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\sup \left\{ \int_{X}gd\mu \in \mathbb{R} \ \left\vert \
\begin{array}{l}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge \\
0\leq g\leq f\wedge \\
0\leq \mu \left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right)
<+\infty
\end{array}\right. \right\}
\end{equation*}と表記します。特に、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}-\infty <\int_{X}fd\mu <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能（Lebesgue integrable on \(X\)）であると言います。

先の議論より、有界なルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有限な台を持つことと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ 0\leq \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在することは必要十分です。さらに、以上の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)を任意に選んだとき、\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分に関して、\begin{equation*}\int_{X}gd\mu =\int_{A}gd\mu
\end{equation*}が成り立ちます。このような事情を踏まえると、非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を以下のように表現することもできます。

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の非負性

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分は1つの拡大実数として定まることが保証されます。加えて、それは必ず非負です。

ルベーグ可測関数\(f\)が有限な実数だけを値としてとり得る場合においても、\(f\)のルベーグ積分は有限な実数として定まるとは限りません。有限な非負の実数だけを値としてとるルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

ルベーグ可測関数\(f\)の定義域であるルベーグ可測集合\(X\)が有限測度を持つ場合においても、\(f\)のルベーグ積分は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

有界関数のルベーグ積分との関係

有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数を対象とするルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( B\right) \ \int_{X}fd\mu
\end{equation*}で表記します。一方、一般のルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数を対象に新たに定義したルベーグ積分概念にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を\begin{equation*}\left( N\right) \ \int_{X}fd\mu
\end{equation*}で表記します。この場合、\begin{equation*}
\left( N\right) \ \int_{X}fd\mu =\left( B\right) \ \int_{X}fd\mu
\end{equation*}を得ます。つまり、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数は、新たに定義された意味でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、有界関数を対象としたルベーグ積分の値と一致します。非負値をとる関数のルベーグ積分の概念は、有界関数を対象としたルベーグ積分の概念の一般化であるということです。

零集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

零集合はルベーグ可測集合です。したがって、零集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数について、そのルベーグ積分を考えることができますが、その値は必ずゼロになります。

特性関数を用いたルベーグ積分の表現

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(X\)に関する特性関数\begin{equation*}\chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入した上で、以上の2つの関数から以下の拡大実数値関数\begin{equation*}
f\cdot \chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため\(f\cdot \chi _{X}\)はルベーグ可測です。さらに、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =\left( f\cdot \chi _{X}\right) \left(
x\right)
\end{equation*}が明らかに成り立つため、ルベーグ積分に関しても以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}fd\mu =\int_{X}\left( f\cdot \chi _{X}\right) d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。では、\(f\)を\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合上でルベーグ積分する場合にも同様の関係は成立するのでしょうか。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。さらに、\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\)を任意に選んだ上で特性関数\begin{equation*}\chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を導入した上で、以上の2つの関数から以下の拡大実数値関数\begin{equation*}
f\cdot \chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため\(f\cdot \chi _{A}\)はルベーグ可測です。さらに、\(x\in X\)を任意に選んだときに以下の関係\begin{equation*}\left( f\cdot \chi _{A}\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in A\right) \\
0 & \left( if\ x\in X\backslash A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が成り立つため、\begin{equation*}
\forall x\in X:\left( f\cdot \chi _{A}\right) \left( x\right) \geq 0
\end{equation*}であり、したがって\(f\cdot \chi _{A}\)の\(X\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}\left( f\cdot \chi _{A}\right) d\mu
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まりますが、以下の関係\begin{equation*}
\int_{A}fd\mu =\int_{X}\left( f\cdot \chi _{A}\right) d\mu
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

演習問題