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ルベーグ積分

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

目次

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ルベーグ可測関数の台

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。この関数の(support)を、\begin{equation*}
\mathrm{supp}f=\left\{ x\in X\ |\ f\left( x\right) \not=0\right\}
\end{equation*}と定義します。つまり、\(f\)の台とは\(f\left( x\right) \)の値が非ゼロになるような\(x\)からなる集合です。

ルベーグ可測関数の台はルベーグ可測集合です。

命題(ルベーグ可測集合の台はルベーグ可測集合)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、\begin{equation*}\mathrm{supp}f\in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つ。つまり、\(f\)の台はルベーグ可測集合である。
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ルベーグ可測関数\(f\)が非負値をとる場合には、その台は\(f\)による区間\(\left( 0,+\infty \right) \)の逆像と一致します。

命題(非負値をとるルベーグ可測関数の台)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が非負値をとる場合には、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\begin{equation*}
\mathrm{supp}f=f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \in \mathfrak{M}_{\mu }
\end{equation*}が成り立つ。

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有限な台を持つルベーグ可測関数

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。先の命題より、\(f\)の台はルベーグ可測集合であるため、ルベーグ測度\(\mu \)はその測度\begin{equation*}\mu \left( \mathrm{supp}f\right) =\mu \left( \left\{ x\in X\ |\ f\left(
x\right) \not=0\right\} \right)
\end{equation*}を必ず特定します。その上で、その値が有限である場合には、すなわち、\begin{equation*}
\mu \left( \mathrm{supp}f\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は有限な台(finite support)を持つと言います。

例(非負値をとるとともに有限な台を持つルベーグ可測関数)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が非負値をとるとともに、有限な台を持つものとします。先に明らかにしたように、非負値をとるルベーグ可測関数\(f\)の台は、\begin{equation*}\mathrm{supp}f=f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)が有限な台を持つことは、\begin{equation*}\mu \left( f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在するものとします。つまり、\(A\)は\(X\)の部分集合であり、なおかつ有限測度を持つルベーグ可測集合であり、\(f\)は\(A\)の外側の点においてゼロのみを値としてとるということです。このことを指して、\(f\)は\(A\)の外側で消える(\(f\) vanishes outside of \(A\))と言います。

以上の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)が存在することと、\(f\)が有限な台を持つことは必要十分です。このような事情を踏まえると、ルベーグ関数\(f\)が有限な台を持つことを、以上の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)が存在することとして定義することもできます。

命題(有限な台を持つルベーグ可測関数)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在することは、\(f\)が有限な台を持つための必要十分である。
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有限な台を持つ有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であり、なおかつ有限な台を持つものとします。この場合には、\begin{equation*}\mu \left( \mathrm{supp}f\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つため、\(f\)の定義域を\(X\)から\(\mathrm{supp}f\)へ縮小することにより、\(f\)は有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数になるため、\(f\)の\(\mathrm{supp}f\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{\mathrm{supp}f}f
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まることが保証されます。その一方で、台の定義より、\begin{equation*}
\forall x\in X\backslash \mathrm{supp}f:f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つため、この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を、\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{\mathrm{supp}f}f
\end{equation*}と定義します。

例(非負値をとるとともに有限な台を持つルベーグ可測関数のルベーグ積分)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が非負値をとるとともに、有限な台を持つものとします。先に明らかにしたように、非負値をとるルベーグ可測関数\(f\)の台は、\begin{equation*}\mathrm{supp}f=f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)が有限な台を持つことは、\begin{equation*}\mu \left( f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つことを意味します。その上で、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) }f
\end{equation*}と定まります。

ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義されたルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有界であり、なおかつ有限な台を持つものとします。先に示したように、\(f\)が有限な台を持つことと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在することは必要十分です。この場合、\(\left(b\right) \)を踏まえると、\(f\)の定義域を\(X\)から\(A\)へ縮小することにより、\(f\)は有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数になるため、\(f\)の\(A\)上におけるルベーグ積分\begin{equation*}\int_{A}f
\end{equation*}が1つの有限な実数として定まることが保証されます。この場合、以上の条件を満たすどのようなルベーグ可測集合\(A\)を選んだ場合でも、以下の関係\begin{equation*}\int_{\mathrm{supp}f}f=\int_{A}f
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{X}f=\int_{A}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分を、先の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)を用いて定義することもできるということです。

命題(有限な台を持つルベーグ可測関数のルベーグ積分)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)に対して、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:f\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在する場合には、そのような集合の中からどれを選んだ場合においても、\begin{equation*}\int_{X}f=\int_{A}f
\end{equation*}が成り立つ。

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非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

以上を踏まえた上で、有限測度を持つとは限らないルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義され、なおかつ有界であるとは限らない拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を対象に、そのルベーグ積分を定義します。ただし、この関数\(f\)は非負の値のみをとるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。より一般なケース、すなわち\(f\)が負の値も取り得るケースについては後ほど扱います。

以上の条件を満たすルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)のルベーグ積分を定義するにあたり、それに対して、以下の2つの条件を満たす有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}に注目します。

1つ目の条件は、関数\(g\)が定める値は関数\(f\)が定める値以下であるということ、すなわち、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq g\left( x\right) \leq f\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
0\leq g\leq f
\end{equation*}が成り立つということです。

2つ目の条件は、関数\(g\)が有限な台を持つということ、すなわち、\begin{equation*}\mu \left( \mathrm{supp}g\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、1番目の条件より\(g\)は非負値をとるため、以上の条件は、\begin{equation*}\mu \left( g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty
\end{equation*}と必要十分です。

非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、それに対して、先の2つの条件を満たす有界なルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をすべて特定し、そのルベーグ積分\begin{equation*}\int_{X}g=\int_{f^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) }g
\end{equation*}をそれぞれ導出します。先の議論より、これは有限な実数として定まります。そのようにして得られたすべての値からなる集合を、\begin{equation*}
\left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \mu \left(
g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。ただし、\begin{equation*}
\int_{X}g=\int_{g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) }g
\end{equation*}です。その上で、この集合の上限\begin{equation*}
\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \mu \left(
g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}を\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分(Lebesgue integral of \(f\) over \(X\))と呼び、\begin{equation*}\int_{X}f=\sup \left\{ \int_{X}g\in \mathbb{R} \ |\ g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \mu \left(
g^{-1}\left( \left( 0,+\infty \right) \right) \right) <+\infty \right\}
\end{equation*}で表記します。特に、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が有限な実数として定まる場合には、すなわち、\begin{equation*}\int_{X}f<+\infty
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能(Lebesgue integrable on \(X\))であると言います。

先の議論より、有界なルベーグ可測関数\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が有限な台を持つことと、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ A\subset X \\
&&\left( b\right) \ \mu \left( A\right) <+\infty \\
&&\left( c\right) \ \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0
\end{eqnarray*}を満たすルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)が存在することは必要十分です。さらに、以上の条件を満たすルベーグ可測集合\(A\)を任意に選んだとき、\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\int_{X}g=\int_{A}g
\end{equation*}と表現できます。このような事情を踏まえると、非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数のルベーグ積分を以下のように表現することもできます。

命題(非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられたとき、以下の関係\begin{equation*}\int_{X}f=\sup \left\{ \left. \int_{A}g\in \mathbb{R} \right\vert \left.
\begin{array}{c}
g\text{は有界なルベーグ可測関数}\wedge 0\leq g\leq f\wedge \\
A\in \mathfrak{M}_{\mu }\wedge A\subset X\wedge \mu \left( A\right) <+\infty
\wedge \forall x\in X\backslash A:g\left( x\right) =0\end{array}\right. \right\}
\end{equation*}が成り立つ。

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非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の非負性

非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分は1つの拡大実数として定まることが保証されます。加えて、それは必ず非負です。

命題(非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の非負性)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)に対して、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は1つの拡大実数として定まるとともに、\begin{equation*}0\leq \int_{X}f\leq +\infty
\end{equation*}が成り立つ。

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ちなみに、関数\(f\)が有限な実数のみを値としてとり得る場合においても、\(f\)のルベーグ積分は有限な実数として定まるとは限りません。非負の実数値を値としてとるルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるとは限らないということです。以下の例より明らかです。

例(ルベーグ積分可能ではない関数)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、正の定数\(c>0\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=+\infty
\end{equation*}となります(演習問題)。

また、ルベーグ可測関数\(f\)の定義域であるルベーグ可測集合\(X\)が有限測度を持つ場合においても、\(f\)のルベーグ積分は有限な実数として定まるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(ルベーグ積分可能ではない関数)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)の定義域が、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分は、\begin{equation*}\int_{X}f=+\infty
\end{equation*}となります(演習問題)。

 

有界関数のルベーグ積分との関係

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数を対象とするルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。一方、一般のルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数を対象に新たに定義したルベーグ積分概念にもとづく先の有界関数\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を\begin{equation*}\left( N\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記します。この場合、\begin{equation*}
\left( N\right) \ \int_{X}f=\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}を得ます。つまり、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数は、新たに定義された意味でルベーグ積分可能であるとともに、そのルベーグ積分の値は、有界関数を対象としたルベーグ積分の値と一致します。つまり、非負値をとる関数を対象とした場合、新たに定義したルベーグ積分の概念は、有界な関数を対象としたルベーグ積分の概念の一般化です。

命題(有界関数のルベーグ積分)
有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとする。有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界な関数のルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}と表記する。また、一般のルベーグ可測集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数を対象としたルベーグ積分の定義にもとづく\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分を、\begin{equation*}\left( N\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}で表記する。このとき、\(f\)は\(X\)上において後者の意味でルベーグ積分可能であるとともに、\begin{equation*}\left( N\right) \ \int_{X}f=\left( B\right) \ \int_{X}f
\end{equation*}が成り立つ。

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零集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分

零集合はルベーグ可測集合です。したがって、零集合上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数について、そのルベーグ積分を考えることができますが、そのルベーグ積分は必ず\(0\)になります。

命題(零集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分)
零集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を任意に選ぶ。このとき、\begin{equation*}
\int_{X}f=0
\end{equation*}が成り立つ。

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特性関数を用いたルベーグ積分の表現

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\begin{equation*}
\forall x\in X:0\leq f\left( x\right) \leq +\infty
\end{equation*}が成り立つということです。

ルベーグ可測集合\(X\)に関する特性関数\(\chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)を導入した上で、拡大実数値\begin{equation*}f\cdot \chi _{X}:\mathbb{R} \rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため\(f\cdot \chi _{X}\)はルベーグ可測です。さらに、以下の関係\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =\left( f\cdot \chi _{X}\right) \left(
x\right)
\end{equation*}が明らかに成り立つため、以下の関係\begin{equation*}
\int_{X}f=\int_{X}f\cdot \chi _{X}
\end{equation*}が成り立ちます。では、\(f\)を\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合上でルベーグ積分する場合にも同様の関係は成立するのでしょうか。

ルベーグ可測集合\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\)を任意に選んだ上で特性関数\(\chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を導入した上で、拡大実数値\begin{equation*}f\cdot \chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }
\end{equation*}を定義します。ルベーグ可測集合に関する特性関数はルベーグ可測であり、ルベーグ可測関数どうしの積として定義される関数はルベーグ可測であるため、\begin{equation*}
\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が1つの拡大実数として定まることに注意してください。加えて、以下の関係\begin{equation*}
\left( f\cdot \chi _{A}\right) \left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
f\left( x\right) & \left( if\ x\in A\right) \\
0 & \left( if\ x\in X\backslash A\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}が明らかに成り立ちます。\(f\)は非負値をとるルベーグ可測関数であるため\(A\)上でのルベーグ積分が定まりますが、これについては、以下の関係\begin{equation*}\int_{A}f=\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

命題(特性関数を用いたルベーグ積分の表現)
ルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された非負値をとる拡大実数値ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)が与えられているものとする。\(X\)の部分集合であるようなルベーグ可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選んだとき、以下の関係\begin{equation*}\int_{A}f=\int_{X}f\cdot \chi _{A}
\end{equation*}が成り立つ。ただし、\(\chi _{A}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)は集合\(A\)に関する特性関数である。
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演習問題

問題(零集合上に定義され正の無限大だけを値としてとる関数)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)の定義域は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =0
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=0
\end{equation*}となることを示してください。

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問題(ルベーグ積分可能ではない関数)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)の定義域が、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =+\infty
\end{equation*}であるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分が\begin{equation*}\int_{X}f=+\infty
\end{equation*}であることを示してください。

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問題(ゼロだけを値としてとる関数)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)の定義域は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =0
\end{equation*}を定めるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=0
\end{equation*}となることを示してください。

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問題(無限大の測度を持つ集合上に定義された定数関数)
ルベーグ可測関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \overline{\mathbb{R} }\)の定義域は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) =+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)がそれぞれの\(x\in X\)に対して定める値が、正の定数\(c>0\)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c
\end{equation*}と表されるものとします。この場合、\(f\)の\(X\)上におけるルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=+\infty
\end{equation*}となることを示してください。

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関連知識

単関数の定数倍のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された単関数の定数倍として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の定数倍と一致します。

単関数どうしの和のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の和として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の和と一致します。

単関数どうしの差のルベーグ積分

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数の差として定義される単関数のルベーグ積分は、もとの2つの単関数のルベーグ積分の差と一致します。

単関数のルベーグ積分の単調性(単関数の絶対値のルベーグ積分)

有限な測度を持つルベーグ集合上に定義された2つの単関数がとり得る値の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、単関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの単関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有界関数のルベーグ積分とリーマン積分の関係

有界閉区間上に定義された有界関数がリーマン積分可能である場合にはルベーグ積分可能である一方で、ルベーグ積分可能な関数はリーマン積分可能であるとは限りません。したがって、ルベーグ積分はリーマン積分の拡張です。

有界関数の定数倍のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能である場合、その定数倍として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの和のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの和として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数どうしの差のルベーグ積分

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数がルベーグ積分可能である場合、それらの差として定義される関数もまたルベーグ積分可能です。

有界関数のルベーグ積分の加法性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に有界なルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。

有界関数のルベーグ積分の単調性

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された2つの有界関数の間に一方的な大小関係が成立する場合、両者のルベーグ積分の間にも同様の大小関係が成立します。また、有界関数の絶対値のルベーグ積分は、もとの関数のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有界収束定理(有界なルベーグ可測関数列の極限のルベーグ積分)

有界なルベーグ可測関数列が一様収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、一様極限のルベーグ積分と一致します。また、一様有界なルベーグ可測関数列が各点収束する場合、その関数列のルベーグ積分からなる数列の極限は、各点極限のルベーグ積分と一致します。

非負値をとるルベーグ可測関のルベーグ積分の加法性

ルベーグ可測集合上に定義された非負値をとるルベーグ可測関数が定義されている状況においてその集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られます。