有界関数のルベーグ積分の加法性

実数空間\(\mathbb{R} \)および\(\mathbb{R} \)上のルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu }\)に加えてルベーグ測度\(\mu :\mathfrak{M}_{\mu }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)からなる測度空間\begin{equation*}\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right)
\end{equation*}が与えられているものとします。有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}0\leq \mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}が成り立つということです。その上で、\(X\)を定義域とする有界な関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況において、\(X\)の部分集合であるような互いに素な2つのルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}X=A\sqcup B
\end{equation*}が成り立つということです。\(f\)の定義域を\(A\)ないし\(B\)へ制限することにより得られる関数を、\begin{eqnarray*}f_{A} &:&\mathbb{R} \supset A\rightarrow \mathbb{R} \\
f_{B} &:&\mathbb{R} \supset B\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}とそれぞれ表記します。\(f\)が\(X\)上においてルベーグ積分可能である場合には、\(f_{A}\)は\(A\)上においてルベーグ積分可能かつ\(f_{B}\)は\(B\)上においてルベーグ積分可能であるとともに、これらの関数のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\int_{X}fd\mu =\int_{A}f_{A}d\mu +\int_{B}f_{B}d\mu
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\int_{A\sqcup B}fd\mu =\int_{A}f_{A}d\mu +\int_{B}f_{B}d\mu
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(f_{A}\)の\(A\)上のルベーグ積分は\(f\)の\(A\)上のルベーグ積分と一致し、\(f_{B}\)の\(B\)上のルベーグ積分は\(f\)の\(B\)上のルベーグ積分と一致するため、すなわち、\begin{eqnarray*}\int_{A}f_{A}d\mu &=&\int_{A}fd\mu \\
\int_{B}f_{B}d\mu &=&\int_{B}fd\mu
\end{eqnarray*}が成り立つため、先の関係を、\begin{equation*}
\int_{A\sqcup B}fd\mu =\int_{A}fd\mu +\int_{B}fd\mu
\end{equation*}と表現できます。つまり、ルベーグ可測集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分の値が得られるということです。以上の性質を有界関数のルベーグ積分に関する加法性（additivity）と呼びます。

演習問題