有界関数のルベーグ積分の加法性

有界関数のルベーグ積分の加法性

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

\(X\)の部分集合であるような互いに素な2つのルベーグ可測集合\(A,B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)を任意に選びます。ルベーグ可測集合族は和集合について閉じているため\(A\cup B\in \mathfrak{M}_{\mu }\)であり、したがって以下のルベーグ積分\begin{eqnarray*}\int_{A\cup B}f &=&\overline{\int }_{A\cup B}f=\underline{\int }_{A\cup B}f
\\
\int_{A}f &=&\overline{\int }_{A}f=\underline{\int }_{A}f \\
\int_{B}f &=&\overline{\int }_{B}f=\underline{\int }_{B}f
\end{eqnarray*}がそれぞれ定まりますが、これらの間には以下の関係\begin{equation*}
\int_{A\cup B}f=\int_{A}f+\int_{B}f
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、ルベーグ可測集合を2つのルベーグ可測集合に分割した場合、個々の集合におけるルベーグ積分の和をとればもとの集合におけるルベーグ積分が得られるということです。以上の性質を有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分に関する加法性（additivity）と呼びます。