有界関数のルベーグ積分の単調性

非負値をとる有界関数のルベーグ積分は非負

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界かつ非負値をとるルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であり、なおかつ、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \geq 0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\geq 0
\end{equation*}が成り立つということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため、この関数\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能です。したがって、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}として定まりますが、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\int_{X}f\geq 0
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界かつ非負の値をとるルベーグ可測関数のルベーグ積分の値もまた非負の値になります。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるため、以下の命題もまた成り立ちます。

有界関数のルベーグ積分の単調性

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された2つの有界なルベーグ可測関数\begin{eqnarray*}f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)および\(g\)の値域\begin{eqnarray*}f\left( X\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\} \\
g\left( X\right) &=&\left\{ g\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{eqnarray*}がともに有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。さらに、以下の条件\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) \leq g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\leq g
\end{equation*}が成り立つものとします。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため、これらの関数\(f,g\)は\(X\)上でルベーグ積分可能です。したがって、\(f\)および\(g\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{eqnarray*}\int_{X}f &=&\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f \\
\int_{X}g &=&\overline{\int }_{X}g=\underline{\int }_{X}g
\end{eqnarray*}としてそれぞれ定まりますが、以上の条件のもとでは、\begin{equation*}
\int_{X}f\leq \int_{X}g
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。以上の性質を有界なルベーグ可測関数のルベーグ積分に関する単調性（monotonicity）と呼びます。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるため、以下の命題もまた成り立ちます。

有界関数の絶対値のルベーグ積分

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界なルベーグ可測関数はルベーグ積分可能であるため、この関数\(f\)は\(X\)上でルベーグ積分可能です。したがって、\(f\)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}f=\overline{\int }_{X}f=\underline{\int }_{X}f
\end{equation*}として定まります。

以上の状況において、関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義すると、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =\left\vert f\left( x\right)
\right\vert
\end{equation*}を定めます。ルベーグ可測関数の絶対値として定義される関数はルベーグ可測関数であるため\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(X\)上に定義された有界なルベーグ可測関数であり、したがって、\(\left\vert f\right\vert \)の\(X\)上でのルベーグ積分が、\begin{equation*}\int_{X}\left\vert f\right\vert =\overline{\int }_{X}\left\vert f\right\vert
=\underline{\int }_{X}\left\vert f\right\vert
\end{equation*}として定まります。加えて、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分ともとの関数\(f\)のルベーグ積分の間には以下の関係\begin{equation*}\left\vert \int_{X}f\right\vert \leq \int_{X}\left\vert f\right\vert
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。つまり、関数\(\left\vert f\right\vert \)のルベーグ積分は、もとの関数\(f\)のルベーグ積分の絶対値以上になります。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるため、以下の命題もまた成り立ちます。

有界関数のルベーグ積分の範囲

ルベーグ可測空間\(\left( \mathbb{R} ,\mathfrak{M}_{\mu },\mu \right) \)に加えて、有限測度を持つルベーグ可測集合\(X\in \mathfrak{M}_{\mu }\)上に定義された有界なルベーグ可測関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。つまり、\(X\)の測度は、\begin{equation*}\mu \left( X\right) <+\infty
\end{equation*}を満たすとともに、\(f\)の値域\begin{equation*}f\left( X\right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in X\right\}
\end{equation*}が有界な\(\mathbb{R} \)の部分集合であるということです。この場合、\begin{equation*}\exists m\in \mathbb{R} ,\ \exists M\in \mathbb{R} :m\leq f\left( x\right) \leq M
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
m\leq f\leq M
\end{equation*}が成り立ちますが、以上の状況のもとでは、\begin{equation*}
m\cdot \mu \left( X\right) \leq \int_{X}f\leq M\cdot \mu \left( X\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されます。

有限測度を持つルベーグ可測集合上に定義された有界関数がルベーグ積分可能であることと、その関数がルベーグ可測関数であることは必要十分であるため、以下の命題もまた成り立ちます。

演習問題