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ルベーグ測度

零集合

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零集合

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \)が集合\(A\subset \mathbb{R} \)に対して定める外測度が、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}である場合、すなわち、集合\(A\)の外測度が\(0\)である場合、\(A\)を零集合(null set)と呼びます。

例(空集合は零集合)
空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset \mathbb{R} \)であり、したがってルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \)は空集合に対しても外測度を定めますが、外測度の性質より、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \phi \right) =0
\end{equation*}が成り立つため、空集合\(\phi \)は零集合であることが明らかになりました。
例(1点集合は零集合)
点\(x\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それを唯一の要素として持つ1点集合\begin{equation*}\left\{ x\right\}
\end{equation*}を構成します。正の実数\(\varepsilon >0\)を任意に選ぶと、\begin{equation*}\left\{ x\right\} \subset \left[ x,x+\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つため、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\right\} \right) &\leq &\mu ^{\ast }\left(
\left[ x,x+\varepsilon \right) \right) \quad \because \mu ^{\ast }\text{の単調性} \\
&=&\left( x+\varepsilon \right) -x\quad \because \mu ^{\ast }\text{は}m\text{の拡張} \\
&=&\varepsilon
\end{eqnarray*}を得ます。任意の\(\varepsilon>0\)に対して同様の議論が成り立つため、\begin{equation}\forall \varepsilon >0:\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\right\} \right) \leq
\varepsilon \quad \cdots (1)
\end{equation}を得ます。一方、\(\mu ^{\ast }\)の非負性より\(\mu ^{\ast }\left( \left\{x\right\} \right) \geq 0\)です。\(\mu ^{\ast }\left( \left\{x\right\} \right) >0\)を仮定する場合、\begin{equation*}\varepsilon =\frac{\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\right\} \right) }{2}>0
\end{equation*}をとることができるため、これと\(\left( 1\right) \)より、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\right\} \right) \leq \frac{\mu ^{\ast }\left(
\left\{ x\right\} \right) }{2}
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\frac{\mu ^{\ast }\left( \left\{ x\right\} \right) }{2}\leq 0
\end{equation*}となり矛盾です。したがって背理法より\(\mu^{\ast }\left( \left\{ x\right\} \right) =0\)であることが示されました。つまり、1点集合\(\left\{ x\right\} \)は零集合であるということです。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)が零集合でないことは、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) \not=0
\end{equation*}が成り立つことを意味しますが、外測度\(\mu^{\ast }\)は非負性を満たすため、これは、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) >0
\end{equation*}と必要十分です。つまり、外測度が正であるような集合は零集合ではありません。

例(区間は零集合ではない)
区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選びます。区間の定義より、\(a<b\)を満たす何らかの点\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=[a,b)
\end{equation*}と表すことができます。このとき、\begin{eqnarray*}
\mu ^{\ast }\left( I\right) &=&\mu ^{\ast }\left( [a,b)\right) \\
&=&b-a\quad \because \mu ^{\ast }\text{は区間の長さ}m\text{の拡張} \\
&>&0\quad \because a<b
\end{eqnarray*}となります。したがって、区間は零集合ではないことが明らかになりました。

 

零集合の部分集合は零集合

零集合の部分集合は零集合であることが保証されます。つまり、集合\(A\subset \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\(B\subset A\)を満たす任意の集合\(B\subset \mathbb{R} \)についても、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( B\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零集合の部分集合は零集合)
集合\(A\subset \mathbb{R} \)が零集合であるならば、\(A\)の任意の部分集合もまた零集合である。
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例(空集合は零集合)
集合\(A\subset \mathbb{R} \)が零集合であるものとします。空集合は任意の集合の部分集合であるため\(\phi \subset A\)です。したがって上の命題より\(\phi \)は零集合です。

上の命題より、集合\(A\)が零集合ではない部分集合を持つ場合、\(A\)は零集合ではありません。

例(区間塊は零集合ではない)
区間塊\(A\in \mathfrak{R}\left( \mathfrak{S}_{m}\right) \)を任意に選びます。区間塊の定義より、互いに素な有限個の何らかの区間\(I_{1},\cdots ,I_{n}\in \mathfrak{S}_{m}\)を用いて、\begin{equation*}A=\bigcup\limits_{k=1}^{n}I_{k}
\end{equation*}と表すことができます。このとき、\begin{equation*}
I_{k}\subset A
\end{equation*}が成り立ちますが、先に示したように\(I_{k}\)は零集合ではないため、先の命題より\(A\)は零集合ではありません。したがって、区間塊は零集合ではないことが明らかになりました。

 

零集合はルベーグ可測

零集合はルベーグ可測であることが保証されます。つまり、集合\(A\subset \mathbb{R} \)が、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) =0
\end{equation*}を満たす場合には、任意の集合\(S\subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( S\right) \geq \mu ^{\ast }\left( S\cap A\right) +\mu
^{\ast }\left( S\cap A^{c}\right)
\end{equation*}が成り立つことが保証されるということです。

命題(零集合はルベーグ可測)
集合\(A\subset \mathbb{R} \)が零集合であるならば、\(A\)はルベーグ可測である。
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上の命題の逆は成り立ちません。つまり、ルベーグ可測集合は零集合であるとは限りません。以下の例より明らかです。

例(零集合ではない可測集合)
区間\(I\in \mathfrak{S}_{m}\)を任意に選びます。区間の定義より、\(a<b\)を満たす何らかの点\(a,b\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}I=[a,b)
\end{equation*}と表すことができます。先に示したように\(I\)は零集合ではありません。その一方で、任意の区間はルベーグ可測です。

 

零集合どうしの和集合は零集合

可算個の零集合どうしの和集合もまた零集合になることが保証されます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合を要素として持つ可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)が、\begin{equation*}\forall k\in \mathbb{N} :\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(可算個の零集合の和集合は零集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合を要素として持つ可算集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{\infty }\)の要素がいずれも零集合であるならば、和集合\(\bigcup_{k=1}^{\infty }A_{k}\)もまた零集合である。
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例(可算集合は零集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような可算集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\}
\end{equation*}を任意に選びます。先に示したように1点集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)は零集合であるため、\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots\right\} \)は可算個の零集合の和集合であり、したがって先の命題より\(\left\{ x_{1},x_{2},\cdots \right\} \)は零集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)上の可算集合は零集合です。

先の命題を用いると、有限個の零集合どうしの和集合もまた零集合になることが保証されます。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合を要素として持つ有限集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)が、\begin{equation*}\forall k\in \left\{ 1,\cdots ,n\right\} :\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right) =0
\end{equation*}を満たす場合、\begin{equation*}
\mu ^{\ast }\left( \bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\right) =0
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(有限個の零集合の和集合は零集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合を要素として持つ有限集合列\(\left\{ A_{k}\right\} _{k=1}^{n}\)の要素がいずれも零集合であるならば、和集合\(\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\)もまた零集合である。
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例(有限集合は零集合)
\(\mathbb{R} \)の部分集合であるような有限集合\begin{equation*}\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\}
\end{equation*}を任意に選びます。先に示したように1点集合\(\left\{ x_{k}\right\} \)は零集合であるため、\(\left\{ x_{1},\cdots,x_{n}\right\} \)は有限個の零集合の和集合であり、したがって先の命題より\(\left\{ x_{1},\cdots ,x_{n}\right\} \)は零集合です。つまり、\(\mathbb{R} \)上の有限集合は零集合です。

 

零集合との和集合

ある集合と零集合の和集合をとったとき、外測度は変化しません。つまり、集合\(A\subset \mathbb{R} \)と零集合\(B\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零集合との和集合)
集合\(A\subset \mathbb{R} \)と零集合\(B\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(零集合との和集合)
以下の集合\begin{equation*}
\lbrack 0,1)\cup \left\{ 2,3,4,5,6\right\}
\end{equation*}の外測度について考えます。有限集合\(\left\{2,3,4,5,6\right\} \)は零集合であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\mu ^{\ast }\left( [0,1)\cup \left\{ 2,3,4,5,6\right\} \right) &=&\mu
^{\ast }\left( [0,1)\right) \quad \because \text{零集合との和集合} \\
&=&1-0\quad \because \mu ^{\ast }\text{は区間の長さ}m\text{の拡張} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

零集合との差集合

ある集合と零集合の差集合をとったとき、外測度は変化しません。つまり、集合\(A\subset \mathbb{R} \)と零集合\(B\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\backslash B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つということです。

命題(零集合との差集合)
集合\(A\subset \mathbb{R} \)と零集合\(B\subset \mathbb{R} \)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\backslash B\right) =\mu ^{\ast }\left( A\right)
\end{equation*}が成り立つ。

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例(零集合との差集合)
以下の集合\begin{equation*}
\lbrack 0,1)\cup \left\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\right\}
\end{equation*}の外測度について考えます。有限集合\(\left\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\right\} \)は零集合であることを踏まえると、\begin{eqnarray*}\mu ^{\ast }\left( [0,1)\cup \left\{ 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5}\right\} \right) &=&\mu ^{\ast }\left( [0,1)\right) \quad
\because \text{零集合との差集合} \\
&=&1-0\quad \because \mu ^{\ast }\text{は区間の長さ}m\text{の拡張} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。

 

ほとんどいたるところ

可測集合\(A\in \mathfrak{M}_{\mu ^{\ast }}\)を任意に選んだ上で、以下の命題\begin{equation*}\forall x\in A:P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つかを検討している状況を想定します。つまり、可測集合の要素である任意の点\(x\in A\)について命題\(P\left( x\right) \)が成り立つかを検討しているということです。問題としている可測集合\(A\)の部分集合であるような零集合\(B\)が与えられた状況を想定します。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ B\subset A \\
&&\left( b\right) \ \mu ^{\ast }\left( B\right) =0
\end{eqnarray*}をともに満たす集合\(B\)に注目します。零集合はルベーグ可測であり、ルベーグ可測集合の測度と外測度は一致するため、\(\left(b\right) \)より、\begin{equation*}\mu \left( B\right) =0
\end{equation*}が成り立つことに注意してください。以上の状況のもと、以下の命題\begin{equation*}
\forall x\in A\backslash B:P\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ場合には、\(P\left( x\right) \)は\(A\)上のほとんどいたるところ(almost everywhere)で成り立つと言います。

例(ほとんどいたるところ)
関数\(f:\mathbb{R} \supset \lbrack -1,0)\cup (0,1]\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \lbrack -1,0)\cup(0,1]\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。実数を\(0\)で割ることはできないため、この関数\(f\)は点\(0\)において定義されていません。ただし、有界閉区間\(\left[ -1,1\right] \)はルベーグ可測であり、1点集合\(\left\{ 0\right\} \)は零集合であるため、この関数\(f\)は区間\(\left[ -1,1\right] \)上のほとんどいたるところで定義されています。

 

演習問題

問題(自然数集合は零集合)
すべての自然数からなる集合\(\mathbb{N} \)は零集合であることを示してください。
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問題(整数集合は零集合)
すべての整数からなる集合\(\mathbb{Z} \)は零集合であることを示してください。
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問題(有理数集合は零集合)
すべての有理数からなる集合\(\mathbb{Q} \)は零集合であることを示してください。
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問題(偶数集合や奇数集合は零集合)
すべての偶数からなる集合\(E\)やすべての奇数からなる集合\(O\)は零集合であることを示してください。
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