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ルベーグ測度

ルベーグ非可測集合の存在と具体例

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ルベーグ非可測集合の候補

区間の長さ\(m:\mathfrak{S}_{m}\rightarrow \mathbb{R} _{+}\)のカラテオドリ拡張としてルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} _{+}\cup \left\{ +\infty \right\} \)を構成することにより、\(\mathbb{R} \)の任意の部分集合\(A\)について、その外延量である外測度\(\mu ^{\ast }\left( A\right) \)を測定できるようになりました。ただ、外測度\(\mu ^{\ast }\)は\(\sigma \)-加法性を満たさないという問題があります。外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たすようにするためにはその定義域を縮小すればよいのですが、定義域を縮小しすぎると多くの点集合の外延量を測定できなくなってしまいます。外測度\(\mu^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たしつつ、なるべく多くの点集合の外延量を測定できるようにするためにはどうすればよいかという問題意識のもと、外測度\(\mu ^{\ast }\)の新たな定義域の候補としてルベーグ可測集合族\(\mathfrak{M}_{\mu^{\ast }}\)と呼ばれる\(\mathbb{R} \)の部分集合族を導入し、それが\(\sigma \)-代数としての性質を満たすことを示しました。さらに、代表的なルベーグ可測集合を紹介するとともに、ルベーグ可測ではない集合が存在することを指摘しました。以下ではルベーグ可測ではない集合の具体例を提示します。

区間\([0,1)\subset \mathbb{R} \)は有界であるとともに、その外測度は、\begin{eqnarray*}\mu ^{\ast }\left( [0,1)\right) &=&1-0\quad \because \text{外測度は区間の長さの拡張} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。つまり、\(\mathbb{R} \)の部分集合の中には有界かつ外測度が正であるようなものが存在します。そこで、有界かつ外測度が正であるような\(\mathbb{R} \)の部分集合を任意に選びます。つまり、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\right) >0
\end{equation*}を満たす有界集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選ぶということです。空集合\(\phi \)の外測度は\(0\)であるため、集合\(A\)は非空であることに注意してください。

集合\(A\subset \mathbb{R} \)上の二項関係\(\sim \)を、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たすものとして定義します。このように定義された\(\sim \)は\(A\)上の同値関係です。

命題(同値関係の定義)

外測度が\(\mu ^{\ast }\left( A\right) >0\)を満たす有界な集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。その上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の二項関係\(\sim \)を定義する。\(\sim \)は同値関係である。すなわち、反射律、対称律、推移律を満たす。

証明

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集合\(A\subset \mathbb{R} \)上の二項関係\(\sim \)を、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たすものとして定義したとき、\(\sim \)は\(A\)上の同値関係であることが明らかになりました。\(x\in A\)を任意に選んだとき、この\(x\)を代表元とする同値類は、\begin{eqnarray*}\left[ x\right] &=&\left\{ y\in A\ |\ x\sim y\right\} \quad \because \text{同値類の定義} \\
&=&\left\{ y\in A\ |\ x-y\in \mathbb{Q} \right\} \quad \because \sim \text{の定義}
\end{eqnarray*}となります。また、\(A\)の\(\sim \)による商集合は、\begin{equation*}A\backslash \sim =\left\{ \left[ x\right] \ |\ x\in A\right\}
\end{equation*}となります。

選択公理を認める場合、商集合\(A\backslash \sim \)の要素であるそれぞれの同値類\(\left[ x\right] \)から要素を1つずつ具体的にとることができます。そのようにして得られた要素からなる集合を、\begin{equation*}C_{A}\subset A
\end{equation*}で表記します。これを選択集合(choice set)と呼ぶこととします。選択集合はルベーグ可測ではありません。

命題(ルベーグ可測ではない集合)
外測度が\(\mu ^{\ast }\left( A\right) >0\)を満たす有界な集合\(A\subset \mathbb{R} \)を任意に選ぶ。その上で、任意の\(x,y\in A\)に対して、\begin{equation*}x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb{Q} \end{equation*}を満たすものとして\(A\)上の同値関係\(\sim \)を定義する。選択公理を認めた上で、商集合\(A\backslash \sim \)の要素であるそれぞれの同値類から要素を1つずつ選び、得られた要素からなる集合を、\begin{equation*}C_{A}\subset A
\end{equation*}で表記する。\(C_{A}\)はルベーグ可測ではない。
証明

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ルベーグ外測度は加法性を満たさない

ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たさないことを指摘しましたが、その証明は保留にしたままでした。先の命題を利用すると、外測度が\(\sigma \)-加法性を満たさないことを容易に示すことができます。まずは加法性を満たさないことの証明です。

命題(ルベーグ外測度は加法性を満たさない)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \)は加法性を満たさない。具体的には、互いに素な集合\(A,B\in 2^{\mathbb{R} }\)の中に、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( A\cup B\right) <\mu ^{\ast }\left( A\right) +\mu ^{\ast
}\left( B\right)
\end{equation*}を満たすものが存在する。

証明

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上の命題を利用することにより、ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)が有限加法性を満たさないことを示すことができます。

命題(ルベーグ外測度は有限加法性を満たさない)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \)は有限加法性を満たさない。具体的には、互いに素な有限個の集合\(A_{1},\cdots ,A_{n}\in 2^{\mathbb{R} }\)の中に、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup\limits_{k=1}^{n}A_{k}\right) <\sum_{k=1}^{n}\mu
^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}を満たすものが存在する。

証明

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ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }\)が\(\sigma \)-加法性を満たさないことの証明も同様です。

命題(ルベーグ外測度はσ-加法性を満たさない)
ルベーグ外測度\(\mu ^{\ast }:2^{\mathbb{R} }\rightarrow \mathbb{R} \)は\(\sigma \)-加法性を満たさない。具体的には、互いに素な可算個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots \in 2^{\mathbb{R} }\)の中に、\begin{equation*}\mu ^{\ast }\left( \bigcup\limits_{k=1}^{\infty }A_{k}\right)
<\sum_{k=1}^{\infty }\mu ^{\ast }\left( A_{k}\right)
\end{equation*}を満たすものが存在する。

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